每日精学 090｜RLS 遗忘因子与时变系统跟踪

2026-09-25

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雷达 · 通信 · 电子战　/　基础精学 090

LMS 与 NLMS 每次只使用瞬时梯度。RLS 还维护输入相关结构，因此在相关输入下通常收敛更快，代价是更高计算量和数值敏感性。

RLS 最小化指数加权历史误差，并递归更新逆相关矩阵。较小遗忘因子更重视近期数据，可更快跟踪时变系数，但估计噪声更大。

01
模型与符号

λ：遗忘因子（至 1）

\bm P[n]：逆相关矩阵估计（逆功率）

\bm k[n]：RLS 增益向量（无量纲）

e[n]：先验误差（幅度）

\bm w[n]：系统估计（系数）

02
指数代价

RLS 最小化

J[n]=\sum_{i=0}^{n}\lambda^{n-i}|d[i]-\bm w^T\bm x[i]|^2

较旧样本的权重按几何级数衰减。

03
递归增益

增益为

\bm k[n]=\bm P[n-1]\bm x[n]/(\lambda+\bm x^T[n]\bm P[n-1]\bm x[n])

权重更新为

\bm w[n]=\bm w[n-1]+\bm k[n]e[n]

04
等效记忆

当 λ 接近一时，有效记忆长度约为 1/(1−λ)。更短记忆提高跟踪速度并增加稳态方差。

05
物理含义

RLS 根据输入在各方向上的历史能量自动调整步长。遗忘因子控制算法保留多久以前的信息。

06
固定参数算例

MATLAB 辨识一个中途改变的两抽头系统，比较两种遗忘因子的权重跟踪、均方误差和变化后的收敛时间。

MATLAB 固定参数数值验证结果
量数值
样本数4500
system change index2200
forgetting factor fast0.95
forgetting factor slow0.995
effective memory fast20
effective memory slow200
postchange settling fast samples53
postchange settling slow samples502
图 1：两种遗忘因子的 RLS 系数跟踪和误差曲线（子图 1）图 1：两种遗忘因子的 RLS 系数跟踪和误差曲线（子图 2）图 1：两种遗忘因子的 RLS 系数跟踪和误差曲线（子图 3）图 1：两种遗忘因子的 RLS 系数跟踪和误差曲线（子图 4）

图 1　两种遗忘因子的 RLS 系数跟踪和误差曲线

数值结果由配套 MATLAB 脚本在固定参数和固定随机种子下实际执行。脚本包含针对闭式关系 边界条件或估计误差的断言，并把 MATLAB 版本与关键数值写入独立结果文件。

07
数字实现的边界

RTL 报告采用标量增益更新核心作为结构示例；完整矩阵 RLS 需要乘法阵列、对称存储和数值缩放。

配套 RTL 只实现本课中可明确量化的定点核函数或数据通路。浮点矩阵分解 概率统计和图形生成保留在 MATLAB 参考程序中。

08
适用范围

RLS 用于快速系统辨识、短数据自适应均衡和时变通道跟踪。高阶实现应监测协方差矩阵正定性。

09
工程上需要注意

  • 有限精度会破坏矩阵对称和正定性。

  • 过小遗忘因子放大噪声。

  • 初始化尺度影响早期瞬态。

  • 计算量随滤波器阶数平方增长。

RLS 利用指数加权历史和逆相关矩阵实现快速收敛。遗忘因子在稳态噪声与时变跟踪之间取舍。

内容依据：每日精学第 90 课《RLS 遗忘因子与时变系统跟踪》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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