每日精学 091｜Wiener 滤波器与正规方程

2026-09-25

雷达 · 通信 · 电子战　/　基础精学 091

自适应算法不断逼近一个随统计量变化的最优点。本课直接计算该最优点，作为 LMS NLMS 与 RLS 的参考。

Wiener FIR 滤波器通过输入自相关矩阵和输入期望响应互相关向量求解正规方程，在二阶统计已知时给出线性均方误差最优权重。

01
模型与符号

\bm R：输入自相关矩阵（功率）

\bm p：输入与期望响应互相关（相关）

\bm w_o：Wiener 最优权重（系数）

Jmin：最小均方误差（功率）

κ：相关矩阵条件数（无量纲）

02
均方误差代价

对

e=d-\bm w^T\bm x

均方误差为

J=E[d^2]-2\bm w^T\bm p+\bm w^T\bm R\bm w

03
正规方程

令梯度为零得到 \bm R\bm w_o=\bm p。若 \bm R 正定，则解唯一且应通过线性方程求解而非显式求逆。

04
正交原理

最优误差与输入张成空间正交，即 E[\bm x e_o]=\bm0。该残差相关可作为数值实现的复验指标。

05
物理含义

Wiener 解把期望响应投影到输入样本向量张成的线性空间。不能由输入线性解释的分量留在最优误差中。

06
固定参数算例

MATLAB 由随机输入和已知 FIR 系统估计样本相关矩阵，求解 Wiener 权重，比较理论系数、残差相关和零滤波器的均方误差。

MATLAB 固定参数数值验证结果
量数值
样本数20000
滤波器长度4
correlation condition number15.0916748002
zero filter mse0.817502235597
wiener mse0.0395114099546
mse improvement db13.1576642134
residual correlation norm6.50310891028e-16
weight error norm0.00303527856056
图 1：Wiener 权重 误差曲面残差相关和均方误差改善（子图 1）图 1：Wiener 权重 误差曲面残差相关和均方误差改善（子图 2）图 1：Wiener 权重 误差曲面残差相关和均方误差改善（子图 3）图 1：Wiener 权重 误差曲面残差相关和均方误差改善（子图 4）

图 1　Wiener 权重 误差曲面残差相关和均方误差改善

数值结果由配套 MATLAB 脚本在固定参数和固定随机种子下实际执行。脚本包含针对闭式关系 边界条件或估计误差的断言，并把 MATLAB 版本与关键数值写入独立结果文件。

07
数字实现的边界

RTL 实现 FIR 点积数据通路；正规方程通常离线或由处理器求解，再把权重写入系数存储器。

配套 RTL 只实现本课中可明确量化的定点核函数或数据通路。浮点矩阵分解 概率统计和图形生成保留在 MATLAB 参考程序中。

08
适用范围

Wiener 滤波用于噪声抑制、线性预测和均衡基准。相关矩阵病态时应使用对角加载或正则化。

09
工程上需要注意

  • 样本相关矩阵存在估计误差。

  • 病态矩阵放大数值误差。

  • 非平稳环境使固定权重过时。

  • 线性滤波不能表示非线性关系。

Wiener 正规方程给出二阶统计意义下的最优线性权重。残差与输入正交是解正确性的直接检验。

内容依据：每日精学第 91 课《Wiener 滤波器与正规方程》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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