每日精学 095｜功率时延谱与相干带宽

2026-09-25

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均衡器复杂度与信道频率选择性密切相关。要判断窄带或单抽头模型是否合适，需要先从时延域量化多径展开。

功率时延谱给出多径平均功率随超额时延的分布，其均方根时延扩展决定频率响应变化速度，并可用来估计相干带宽的数量级。

01
模型与符号

P(τ)：归一化功率时延谱（功率每秒）

$\bar\tau$ ：平均超额时延（s）

σ_τ：均方根时延扩展（s）

R_H(Δ f)：频率相关函数（无量纲）

B_c：相干带宽（Hz）

02
时延矩

归一化 PDP 满足

$\int P(\tau)d\tau=1$

平均时延为

$\bar\tau=\int\tau P(\tau)d\tau$

均方根扩展为

$\sigma_\tau=[\int(\tau-\bar\tau)^2P(\tau)d\tau]^{1/2}$

03
频率相关

宽平稳非相关散射模型下，频率相关函数是 PDP 的傅里叶变换

$R_H(\Delta f)=\int P(\tau)e^{-\mathrm{j}2\pi\Delta f\tau}d\tau$

04
相干带宽

可把 |R_H| 降到给定阈值的频率间隔定义为 B_c。经验尺度常写为 $B_c\propto1/\sigma_\tau$ ，比例常数取决于阈值和 PDP 形状。

05
物理含义

更分散的多径时延会使不同频率分量经历更快变化。时延域越宽，频率域相关范围越窄。

06
固定参数算例

MATLAB 构造指数衰减离散 PDP，计算时延矩和频率相关函数，分别求零点五与零点九相关阈值的相干带宽。

MATLAB 固定参数数值验证结果

量	数值
delay resolution seconds	1e-07
mean excess delay seconds	6.95424195199e-07
均方根时延扩展 / s	7.29817427009e-07
coherence bandwidth corr 0p9 hz	104250
coherence bandwidth corr 0p5 hz	369000
empirical one over 5sigma hz	274041.140425
pdp tap count	51

图 1　指数功率时延谱时延扩展和多阈值相干带宽

数值结果由配套 MATLAB 脚本在固定参数和固定随机种子下实际执行。脚本包含针对闭式关系边界条件或估计误差的断言，并把 MATLAB 版本与关键数值写入独立结果文件。

07
数字实现的边界

RTL 实现离散 PDP 的功率加权和及样本计数接口，时延矩除法和平方根由处理器完成。

配套 RTL 只实现本课中可明确量化的定点核函数或数据通路。浮点矩阵分解概率统计和图形生成保留在 MATLAB 参考程序中。

08
适用范围

PDP 与相干带宽用于选择 OFDM 子载波间隔、均衡器长度和导频频率间隔。经验公式必须注明相关阈值。

09
工程上需要注意

PDP 是局部平均统计量而非单次信道。
有限测量带宽限制时延分辨率。
门限会截断弱长时延路径。
相干带宽没有唯一统一定义。

PDP 的均方根时延扩展量化多径展开，频率相关函数由其傅里叶变换给出。相干带宽必须与选定相关阈值一起报告。

内容依据：每日精学第 95 课《功率时延谱与相干带宽》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 095｜功率时延谱与相干带宽

01模型与符号

02时延矩

03频率相关

04相干带宽

05物理含义

06固定参数算例

07数字实现的边界

08适用范围

09工程上需要注意