每日精学 115｜一阶 Sigma Delta 调制与噪声整形

2026-09-25

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低分辨率量化器的瞬时误差通常较大，但量化误差在频率上的分布可以通过反馈结构改变。Sigma Delta 调制器把积分器、量化器和数模反馈置于同一闭环中，使低频输入主要由输出脉冲密度表示，同时使量化误差在低频受到抑制。

经过数字低通滤波与抽取后，信号带外的高频噪声可被移除，从而获得高于单次量化分辨率的带内精度。

本报告限定于离散时间一阶、一位、低通 Sigma Delta 调制器。分析重点是线性化模型中的噪声整形机理和带内噪声积分，不涉及高阶环路设计、连续时间实现或具体射频系统参数。

01
模型与符号

分析采用下列条件：输入和反馈量均按量化器输出幅度归一化；量化器误差在带内近似为与输入不相关的零均值白噪声；环路工作于不过载的稳定状态；数字抽取滤波器的理想通带边缘为

$\omega_B=\pi/\mathrm{OSR}$

线性化假设用于功率谱推导，一位非线性仿真用于核对平均值和状态有界性。

x[n]：调制器离散时间输入（归一化幅度）

u[n]：积分器状态及量化器输入（归一化幅度）

y[n]：一位量化器输出及反馈电平（{−1,+1}）

e[n]：线性化量化器加性误差（归一化幅度）

Δ：两个相邻量化输出电平之差（归一化幅度）

ω_B：数字基带单边截止角频率（rad/sample）

OSR：过采样比，满足 ω_B=π/OSR（大于一）

S_e(e^jω)：量化误差双边功率谱密度（幅度平方每弧度）

02
一阶反馈环路的差分方程

采用单位延时反馈的一阶结构。积分器状态和一位量化输出满足

$\begin{aligned} u[n] &= u[n-1]+x[n]-y[n-1], \\ y[n] &= Q\{u[n]\}. \end{aligned}$

状态递推关系表明，状态量累加输入与上一拍反馈之差。

若在一段时间内输出平均值小于输入，状态量上升并提高产生正输出的概率；反之，状态量下降并提高产生负输出的概率。因此，闭环在时间平均意义上迫使输出逼近输入。

为分析量化误差的频谱分布，把非线性量化器写成加性噪声模型

该模型不改变实际量化器的非线性本质，而是把难以直接求解的误差序列替换为便于二阶统计分析的随机过程。

对一位量化器，线性化结论主要用于解释带内噪声趋势，不能单独证明任意输入下的稳定性。

03
信号传递函数与噪声传递函数

对状态递推关系作 z 变换，并忽略初始状态，可得

$U(z)=z^{-1}U(z)+X(z)-z^{-1}Y(z).$

整理后得到

$\left(1-z^{-1}\right)U(z)=X(z)-z^{-1}Y(z).$

由加性误差模型有 U(z)=Y(z)−E(z)。

将其代入状态的 z 域关系，得到

$\begin{aligned} \left(1-z^{-1}\right)\left[Y(z)-E(z)\right] &=X(z)-z^{-1}Y(z),\\ Y(z)\left[1-z^{-1}+z^{-1}\right] &=X(z)+\left(1-z^{-1}\right)E(z),\\ Y(z)&=X(z)+\left(1-z^{-1}\right)E(z). \end{aligned}$

因此，信号传递函数和噪声传递函数分别为

$\mathrm{STF}(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=1, \qquad \mathrm{NTF}(z)=\frac{Y(z)}{E(z)}=1-z^{-1}.$

NTF(z) 在 z=1 处有一个零点，对应直流角频率 ω=0。

量化误差经过一阶差分后进入输出，而输入在线性化模型中不受幅频衰减。该结果是低通一阶噪声整形的核心关系。

04
输出噪声功率谱

若量化误差近似为零均值白噪声，且在归一化离散时间频率 [−π,π) 内具有常数双边功率谱密度，则

$S_e(e^{\mathrm{j}\omega})=\frac{\Delta^2}{12}.$

噪声传递函数在单位圆上的幅度平方为

$\begin{aligned} \left|\mathrm{NTF}(e^{\mathrm{j}\omega})\right|^2 &=\left|1-e^{-\mathrm{j}\omega}\right|^2\\ &=\left(1-e^{-\mathrm{j}\omega}\right) \left(1-e^{\mathrm{j}\omega}\right)\\ &=2-2\cos\omega =4\sin^2\frac{\omega}{2}. \end{aligned}$

由线性时不变系统的功率谱传播关系，输出量化噪声功率谱为

$S_{q,\mathrm{out}}(e^{\mathrm{j}\omega}) =\frac{\Delta^2}{12}\,4\sin^2\frac{\omega}{2}.$

当

$|\omega|\ll 1$

时，sin(ω/2)≈ω/2，因此低频噪声功率谱近似与 ω² 成正比。

频率每降低一倍，功率谱密度约降低 6.02 dB。

05
带内噪声的完整积分

设理想数字低通滤波器保留 |ω|≤ω_B，其中

$\omega_B=\pi/\mathrm{OSR}$

带内噪声功率为

$\begin{aligned} P_{q,B} &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_B}^{\omega_B} S_{q,\mathrm{out}}(e^{\mathrm{j}\omega})\,\mathrm{d}\omega\\ &=\frac{\Delta^2}{24\pi}\int_{-\omega_B}^{\omega_B} 4\sin^2\frac{\omega}{2}\,\mathrm{d}\omega\\ &=\frac{\Delta^2}{12\pi}\int_{-\omega_B}^{\omega_B} \left(1-\cos\omega\right)\,\mathrm{d}\omega\\ &=\frac{\Delta^2}{6\pi} \left(\omega_B-\sin\omega_B\right). \end{aligned}$

当 OSR 足够大时，使用

$\sin\omega_B=\omega_B-\omega_B^3/6+O(\omega_B^5)$

可得

$\begin{aligned} P_{q,B} &\approx\frac{\Delta^2}{36\pi}\omega_B^3\\ &=\frac{\Delta^2\pi^2}{36}\,\mathrm{OSR}^{-3}. \end{aligned}$

带内噪声渐近式表明，过采样比加倍时，一阶整形后的绝对带内噪声功率理论上下降

$10\log_{10}(2^3)=9.03\ \mathrm{dB}.$

未整形白量化噪声在同一带宽内的功率为 Δ²/(12 OSR)，仅随过采样比的一次方反比下降。

两者之比在高过采样比下近似为 3 OSR²/π²，说明一阶反馈在普通过采样之外额外提供随过采样比平方增长的带内噪声抑制。

06
物理含义

一阶差分算子 1−z⁻¹ 对缓慢变化的误差分量形成相减。相邻样本中的低频误差近似相等，差分后大部分抵消；高频误差在相邻样本间变化快，差分后幅度增大。环路并未消除量化误差的总能量，而是改变其频率分布，使基带噪声降低、带外噪声升高。

一位输出的脉冲密度体现了闭环平均值约束。对常值输入 x₀，若状态保持有界，对状态递推关系在 N 个样本上求和，可得

$\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}y[n-1] =x_0-\frac{u[N-1]-u[-1]}{N}.$

当 N 增大且状态差保持有界时，右端第二项趋于零，输出平均值趋近 x₀。

对于输出电平 {−1,+1}，正电平密度趋近 (x₀+1)/2。

07
固定参数算例

MATLAB 数值实验采用量化步长 Δ=2、2²⁰ 个白量化误差样本和固定随机种子。白噪声经 1−z⁻¹ 差分后，通过离散傅里叶变换直接积分 |ω|≤π/OSR 内的功率。

另行运行非线性一位环路，对七个常值输入测量正输出密度与状态峰值。

固定参数数值验证结果

量	数值
quantizer step	2
样本数	1048576
osr values	16 32 64
measured noise osr16	2.64764112585e-4
measured noise osr32	3.2762016162e-5
measured noise osr64	4.16594354399e-6
measured slope db per octave	9.01572869095
density max abs error	0

数值结果同时给出解析积分值和随机序列测量值。三个过采样比下的测量值相对解析值偏差均不超过 2.1%，相邻过采样比的平均带内噪声下降量为 9.016 dB。

输出密度验证不使用线性化量化噪声模型；在每个常值输入记录 8192 个样本时，正输出密度与理论值的最大绝对偏差为零，从而独立核对了输出密度平均值恒等式的平均值关系。

图 1　一阶噪声传递函数带内噪声积分与一位输出密度验证

08
适用范围

上述推导适用于低通、离散时间、一阶反馈环路，并要求量化误差在所关心带宽内可近似为白噪声。该模型可用于估算过采样数据转换器的基础带内噪声、解释脉冲密度调制的频谱分布，以及确定数字抽取滤波器需要抑制的带外噪声范围。

在数字实现中，积分器可用有符号累加器表示，一位反馈数模转换等效为正负两个常数电平。累加器位宽需要覆盖输入、反馈差值和状态摆幅；输出抽取链通常由低通滤波和降采样构成。

报告配套的可综合 SystemVerilog 模块实现状态递推关系的定点数据通路，自检 testbench 通过多组常值输入核对输出密度、正负对称性和状态有界性。

09
工程上需要注意

一位量化器是强非线性器件，量化误差可能与输入相关，并产生空闲音和离散谱线；白噪声模型不能预测这些确定性现象。
当输入幅度接近或超过反馈电平时，积分器状态可能持续增长，线性化传递函数不再描述实际环路。
有限字长累加器会引入舍入、饱和或回绕。回绕会破坏状态方程，工程实现通常采用保护位和饱和策略。
时钟抖动、比较器延迟、反馈电平失配和模拟积分器泄漏会改变噪声传递函数，并降低实际带内信噪比。
带内噪声积分表达式假定理想砖墙低通滤波器。实际抽取滤波器的过渡带和阻带泄漏会把部分高频整形噪声折叠到输出带内。
一阶结构的噪声整形能力有限。更高阶环路可获得更陡的低频噪声抑制，但稳定性分析和状态缩放更复杂，不能由一阶结论直接外推。

一阶 Sigma Delta 调制器在线性化模型下具有单位信号传递函数和 1−z⁻¹ 噪声传递函数。量化误差功率谱因而在直流处形成一阶零点，低频噪声功率谱与 ω² 成正比。

理想基带积分给出的精确噪声功率为 Δ²(ω_B−sinω_B)/(6π)；在高过采样比下，该功率按 OSR⁻³ 下降，对应每次过采样比加倍约 9.03 dB 的绝对带内噪声改善。

该结论建立了过采样、噪声整形和数字抽取之间的定量联系，同时明确依赖量化噪声白化、环路不过载和理想滤波等条件。

内容依据：每日精学第 115 课《一阶 Sigma Delta 调制与噪声整形》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 115｜一阶 Sigma Delta 调制与噪声整形

01模型与符号

02一阶反馈环路的差分方程

03信号传递函数与噪声传递函数

04输出噪声功率谱

05带内噪声的完整积分

06物理含义

07固定参数算例

08适用范围

09工程上需要注意