每日精学 116｜一阶 Sigma Delta 调制器的空闲音与抖动

2026-09-25

雷达 · 通信 · 电子战　/　基础精学 116

线性化量化噪声模型通常把量化误差视为与输入不相关的白噪声，并用噪声传递函数描述其频谱整形。该模型能够解释一阶 Sigma Delta 调制器的平均噪声趋势，但不能覆盖常值或缓慢变化输入下的确定性状态轨道。

若输入与内部量化网格具有简单的有理关系，调制器可能反复输出同一段一位序列。周期序列的能量集中在离散频率，而不是连续噪声谱中。

低频离散谱线通过抽取低通滤波器后可能保留，并在数据转换、窄带测量和低频信号链中表现为可辨识的空闲音。抖动通过对量化判决施加已知统计扰动，降低量化误差与输入及内部状态的相关性。

代价是形成连续噪声底并消耗部分噪声预算。因此，抖动的作用应由离散谱线、带内总功率和平均值偏差共同评价，不能只观察频谱是否平滑。

本报告限定于离散时间、一阶、一位、低通调制器以及量化判决端的非减性抖动。内容仅涉及基础信号处理、固定参数数值验证和可综合数字实现，不讨论高阶环路、模拟电路细节或具体系统运用方案。

01
模型与符号

分析采用理想加法器、理想一位量化判决和不过载的有界状态。无抖动周期推导使用无限精度归一化状态；数字实现使用有限字长相位尺度，并通过保护位保存抖动引起的阈值越界。

抖动样本在理论推导中相互独立，并与输入及初始状态独立。数值频谱采用相干记录和矩形窗，以便直接识别周期序列的离散谱线。

r[n]：相位累加器状态，无抖动时位于 [0,1)（归一化状态）

p：一位输出取正值或逻辑一的长期概率（0<p<1）

b[n]：单极性一位输出（{0,1}）

x：双极性常值输入，满足 x=2p−1（−1<x<1）

y[n]：双极性一位输出，满足 y[n]=2b[n]−1（{−1,+1}）

a,L：互素分子和分母，满足 p=a/L（正整数）

d[n]：加在量化判决变量上的抖动（阈值间隔）

A：TPDF 抖动的峰值，满足 |d[n]|≤ A（阈值间隔）

ωB：理想基带单边截止角频率，ωB=π/OSR（rad/sample）

Pk：长度为 N 的记录在第 k 个单边频率栅格上的谱线功率（相对单位功率）

02
一阶一位调制器的归一化模型

把双极性输入和输出变换为单极性变量

p=\frac{x+1}{2}, \qquad b[n]=\frac{y[n]+1}{2}.

无抖动的一阶一位调制器可写成相位累加形式

\begin{aligned} b[n] &= \left\lfloor r[n]+p\right\rfloor, \\ r[n+1] &= r[n]+p-b[n], \qquad 0\leq r[n]<1. \end{aligned}

由于 0≤ r[n]+p<2，一位量化判决式 的输出只能为零或一。

联立两式可得

r[n+1]=\left\{r[n]+p\right\},

其中花括号表示小数部分。该模型等价于模一圆周上的固定步长旋转。


对状态递推关系 从 n=0 到 N−1 求和，得到

\begin{aligned} r[N]-r[0] &=Np-\sum_{n=0}^{N-1}b[n],\\ \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}b[n] &=p-\frac{r[N]-r[0]}{N}. \end{aligned}

状态有界时，有限记录平均值恒等式 右端第二项随 N 增大而趋于零，因此输出密度收敛到 p。

这一平均值性质并不要求误差为白噪声，也不能据此判定误差频谱是连续的。

03
有理输入的周期轨道

由模一旋转递推式 递推可得

r[n]=\left\{r[0]+np\right\}.

若 p=a/L 且

\gcd(a,L)=1

则

\begin{aligned} r[n+L] &=\left\{r[0]+np+a\right\}\\ &=\left\{r[0]+np\right\}=r[n]. \end{aligned}

因此状态经过 L 个样本返回原值，一位输出也随之重复。

除全零、全一等退化情形外，基本周期通常为 L。若输入在无限精度下为无理数，则不存在有限的精确周期；有限字长实现的状态数有限，仍会在足够长时间后进入某个周期轨道。


令去直流后的一个周期为 c[n]=b[n]−p。其离散傅里叶级数系数为

C_k=\frac{1}{L}\sum_{n=0}^{L-1}c[n] \exp\left(-\mathrm{j}\frac{2\pi kn}{L}\right), \qquad k=0,1,\ldots,L-1.

周期延拓后的频谱只在

f_k=\frac{k}{L}f_s

处具有离散分量。

C0=0，其余系数由周期内一位图样决定。若某个 fk 位于抽取滤波器通带内，该分量不会像宽带噪声一样随频率平均而消失，而是形成稳定窄带谱线。


数值验证取 p=257/512，对应双极性输入 x=1/256。互素分母给出 L=512 的预测状态周期，谱线栅格间隔为 fs/512。

验证记录中位于 fs/256 的谱线属于第二个周期谐波，并落入 OSR=64 时的基带范围 0<f≤ fs/128。


04
空闲音的形成机理

空闲音的直接原因是量化误差与确定性状态轨道保持相干。在线性白噪声模型中，不同样本的误差被假定为不相关，周期轨道则使相隔 L 个样本的误差高度相关。

长度为整数个周期的矩形窗记录不会产生谱泄漏，离散谱线因而集中到少数频率栅格。延长记录只会缩窄频率栅格，不会把谱线转化为连续噪声。

这一现象与平均值精度并不矛盾。有限记录平均值恒等式 可以精确成立，同时离散傅里叶级数表达式 中的多个非零系数仍然存在。对窄带输出而言，决定可见失真的不是输出均值，而是非直流能量在频率上的集中程度。

常值输入越接近简单有理数，有限字长状态越容易形成短周期；复位到固定状态还会使同一轨道在每次启动后重复出现。

05
TPDF 抖动及其噪声代价

在量化判决变量上加入抖动后，判决式改写为

b[n]= \begin{cases} 1, & r[n]+p+d[n]\geq 1,\\ 0, & r[n]+p+d[n]<1, \end{cases}

状态更新仍使用状态递推关系，抖动只改变当前判决，不直接累加到状态中。

因此，有限记录平均值恒等式 继续成立。只要状态保持有界，抖动可以改变输出排列而不改变长期平均密度。

采用两个独立均匀随机变量

u_1[n],u_2[n]\sim\mathcal{U}\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)

构造三角概率密度抖动

d[n]=A\left(u_1[n]-u_2[n]\right).

其支持区间、均值和方差分别为

-A\leq d[n]\leq A, \qquad \operatorname{E}\{d[n]\}=0, \qquad \operatorname{Var}\{d[n]\}=\frac{A^2}{6}.

时间变化的判决阈值打断固定的模一旋转轨道，使原有离散谱线能量分散到更多频率栅格。

TPDF 由两个均匀序列之差获得，便于用两个伪随机序列源实现，并且不含直流分量。

在线性化模型中，设积分器状态为 u[n]，量化误差为 e[n]，则

\begin{aligned} u[n]&=u[n-1]+x[n]-y[n-1], \\ y[n]&=u[n]+d[n]+e[n]. \end{aligned}

忽略初始状态并作 z 变换，有

\begin{aligned} \left(1-z^{-1}\right)U(z)&=X(z)-z^{-1}Y(z),\\ U(z)&=Y(z)-D(z)-E(z). \end{aligned}

代入并整理得到

Y(z)=X(z)+\left(1-z^{-1}\right)\left[D(z)+E(z)\right].

量化判决端的抖动与线性化量化误差都经过一阶噪声传递函数 1−z−1。

若 d[n] 可近似为方差为 σd2 的白噪声，则其输出功率谱为

S_{d,\mathrm{out}}(e^{\mathrm{j}\omega}) =4\sigma_d^2\sin^2\frac{\omega}{2}.

理想低通保留 |ω|≤ωB 时，抖动产生的带内功率为

\begin{aligned} P_{d,B} &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_B}^{\omega_B} 4\sigma_d^2\sin^2\frac{\omega}{2}\,\mathrm{d}\omega\\ &=\frac{2\sigma_d^2}{\pi} \left(\omega_B-\sin\omega_B\right)\\ &=\frac{A^2}{3\pi} \left(\omega_B-\sin\omega_B\right). \end{aligned}

当

\omega_B=\pi/\mathrm{OSR}

且过采样比较大时，进一步得到

P_{d,B}\approx\frac{A^2\pi^2}{18}\,\mathrm{OSR}^{-3}.

抖动没有消除量化能量，而是用可控制的连续噪声底换取离散谱线降低。

抖动带内噪声近似式 给出线性化噪声代价；实际一位非线性环路还包含残余相关误差，因此该式适合作为尺度估计，而不是任意输入下的精确总噪声预测。


06
物理含义

无抖动调制器相当于以固定步长在单位圆周上旋转。步长为有理数时，轨迹只访问有限个相位点，输出排列可完全重复。频域中的离散谱线是这一有限轨道的傅里叶表示，周期越短，谱线间隔越大；周期较长时，低阶谱线更容易落入窄基带。

抖动使每次判决阈值发生小幅变化，相当于在原有轨道附近随机选择相邻路径。相隔一个预测周期的样本不再保持确定性一致，相关峰下降，谱线能量被摊入连续谱底。抖动峰值过小时不足以打断轨道；

峰值过大时，新增连续噪声超过谱线降低带来的收益。合理幅度取决于允许的最大谱线、带内噪声预算、环路状态裕量和伪随机序列周期。

07
固定参数算例

MATLAB 数值实验采用固定随机种子、N=218 个有效样本和 4096 个预热样本。输入概率为 p=257/512，TPDF 抖动峰值为 A=0.5 个量化阈值间隔，基带边缘按 OSR=64 设为 fs/128。

单边谱线功率定义为

P_k=\frac{2}{N^2}\left| \sum_{n=0}^{N-1}\left(b[n]-\overline{b}\right) e^{-\mathrm{j}2\pi kn/N} \right|^2, \quad 1\leq k<\frac{N}{2}.

该定义把正负频率的一对共轭分量合并为单边功率，表中 dB 数值均以单位平方为参考。


固定参数设置
参数数值
输入概率 p257/512=0.501953125
双极性输入 x1/256=0.00390625
预测周期 L512 samples
有效记录长度 N262144 samples
过采样比 OSR64
TPDF 峰值 A0.5 threshold interval
TPDF 理论方差 A2/60.0416666667
线性化抖动带内功率5.2284746×10−7
无抖动与 TPDF 抖动结果对比
量无抖动TPDF 抖动
相邻 512 样本块一致率1.0000000.611328
最大基带谱线功率−51.1751 dB−78.2490 dB
最大基带谱线频率0.00390625fs0.00778198fs
fs/256 谱线降低量—44.4783 dB
最大基带谱线降低量—27.0739 dB
基带总功率−48.1640 dB−57.8670 dB
基带谱线功率中位数数值零−95.3227 dB
滞后 512 的归一化相关0.9980470.158907
输出平均密度误差00

无抖动序列的相邻周期块完全一致，滞后 512 的相关系数接近一。加入抖动后，相邻块一致率降至 0.6113，相关系数降至 0.1589。

最大基带谱线降低 27.074 dB，指定的 fs/256 空闲音降低 44.478 dB。该参数下谱线降低量大于新增连续谱底，因此基带总功率同时降低 9.703 dB；

这一结果依赖具体输入和抖动幅度，不能外推为抖动必然降低总噪声。

图 1：周期输出 基带谱线 相关函数与抖动幅度权衡（子图 1）图 1：周期输出 基带谱线 相关函数与抖动幅度权衡（子图 2）图 1：周期输出 基带谱线 相关函数与抖动幅度权衡（子图 3）图 1：周期输出 基带谱线 相关函数与抖动幅度权衡（子图 4）

图 1　周期输出 基带谱线 相关函数与抖动幅度权衡

数值脚本还对 A=0 至 0.625 的六个抖动峰值进行扫描。最大谱线随抖动增强而下降，在本组参数的 A=0.5 附近达到较低水平；基带总功率先因谱线削弱而下降，随后因连续噪声增加而回升。该趋势体现了抖动幅度选择中的谱线与噪声权衡。

08
适用范围

周期推导适用于可等效为模一相位累加器的一阶一位调制器。它可用于解释直流或准直流输入下的空闲音、评估有限字长输入与内部状态形成短周期的风险，并为伪随机抖动幅度和序列周期的选择提供基础尺度。

数字实现可用有符号保护位保存相位状态，用两个伪随机序列之差近似 TPDF，并把扰动只加到量化比较器输入。伪随机周期应明显长于测量记录和抽取滤波器的有效记忆长度；两个序列源不应采用相同相位。抖动幅度的量化步进、截断和符号扩展需要显式定义，以避免无意的直流偏置。

配套 SystemVerilog 模块采用 16 位相位尺度、两个线性反馈移位寄存器和带保护位的有符号状态。自检 testbench 在无抖动条件下确认一个周期内恰有 257 个正输出，并确认后续 512 样本块完全重复；

使能抖动后，连续两块出现 219 个不一致样本，32768 个样本中的正输出计数为 16447，相对理论值 16448 的误差为一个样本。

Icarus Verilog 动态编译和仿真通过全部断言。

09
工程上需要注意

  • 相位累加器模型忽略模拟积分器泄漏、比较器迟滞、反馈电平失配和时钟抖动。上述因素会改变轨道及谱线位置，并可能同时产生其他杂散分量。

  • TPDF 独立性是理论条件。有限长度 LFSR 产生的是确定性伪随机序列，最终仍会重复；短周期、相关种子或不合适的抽头会重新形成可见谱线。

  • 非减性抖动保留在输出中。抖动带内噪声近似式 描述其线性化带内代价；可获得同一随机序列时，减性抖动可在量化后抵消部分扰动，但实现结构和同步要求不同。

  • 矩形窗和相干记录适合显示离散谱线，但实际测量若不相干会出现谱泄漏。最大频率栅格功率随窗函数、记录长度和归一化方式变化，比较时必须保持相同设置。

  • 抖动可能扩大内部状态范围。有限字长实现必须配置保护位和明确的饱和策略，不能依赖有符号回绕维持表面上的周期运行。

  • 本文的周期结论针对一阶一位结构。高阶、多位和多环路调制器可能具有更复杂的极限环和稳定性边界，不能直接套用分母即周期的结论。

一阶一位 Sigma Delta 调制器在常值有理输入 p=a/L 下形成长度为 L 的确定性状态轨道，输出频谱因而在 kfs/L 处出现离散分量。

输出平均值收敛到输入只反映直流约束，不能排除带内空闲音。量化判决端的 TPDF 抖动通过改变每次比较阈值打断周期轨道，同时保留有界状态下的长期平均密度。

线性化模型表明，抖动经 1−z−1 噪声传递函数整形，其理想带内代价为 A2(ωB−sinωB)/(3π)。

固定参数验证中，A=0.5 使最大基带谱线降低 27.074 dB，使 fs/256 目标谱线降低 44.478 dB，并把滞后 512 的相关系数从 0.9980 降至 0.1589，未引入可测平均密度偏差。

工程实现需要在谱线限值、连续噪声、伪随机周期和状态裕量之间选择抖动幅度。

内容依据：每日精学第 116 课《一阶 Sigma Delta 调制器的空闲音与抖动》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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