每日精学 117｜二阶Sigma Delta噪声整形

2026-09-25

雷达 · 通信 · 电子战　/　基础精学 117

二阶噪声整形在直流处设置二重零点，使加性误差的低频功率按频率四次方衰减；其带内噪声近似与过采样率的五次方成反比。

01
模型与符号

推导使用零初始状态、无过载的加性量化误差模型。误差白化仅用于功率近似，不被解释为一位非线性闭环的稳定性证明。

e[n]：加性误差（幅度）

q：量化步长（幅度）

R：过采样率（无量纲）

ω：数字角频率（rad/sample）

02
从模型到公式

二次差分模型

误差反馈等效模型取

对零初始状态进行变换，得到

$Y(z)=X(z)+(1-2z^{-1}+z^{-2})E(z).$

因而信号传递函数为1，噪声传递函数为

$N(z)=(1-z^{-1})^2.$

这是一种指定信号通路下的等效模型，并不唯一确定积分器电路。

低频幅度与功率

由

$1-e^{-\mathrm j\omega}=2\mathrm j e^{-\mathrm j\omega/2}\sin(\omega/2)$

得到

$|N(e^{\mathrm j\omega})|^2=16\sin^4(\omega/2).$

在

$|\omega|\ll1$

时，sin(ω/2)≃ω/2，故噪声功率谱近似为 S_y(ω)≃(q²/12)ω⁴。

带内积分

假定误差方差为 σ_e²=q²/12 且白谱，以 ω_b=π/R 为带边，则

$P_b=\frac{\sigma_e^2}{2\pi}\int_{-\pi/R}^{\pi/R}16\sin^4(\omega/2)\,\mathrm d\omega.$

代入低频近似并积分得到

$P_b\simeq\frac{\sigma_e^2\pi^4}{5R^5}.$

因此 R 加倍对应约

$10\log_{10}32=15.05$

dB 的噪声降低。

低频渐近式及其积分误差

二次差分在直流处具有二重零点，但五次幂带内噪声律还需要带宽远小于采样频率。令数字角频率为 ω，先展开正弦而不是直接把整个频带当成零频点：

$|1-e^{-\mathrm j\omega}|^4=16\sin^4(\omega/2) =\omega^4\left(1-\frac{\omega^2}{6}+O(\omega^4)\right).$

设白量化误差的方差为 σ_e²、过采样率为 R，双边积分给出

$P_{\mathrm{in}}=\frac{\sigma_e^2}{\pi} \left(\frac{\pi^5}{5R^5}-\frac{\pi^7}{42R^7}+O(R^{-9})\right).$

因此首项近似相对精确积分偏高，主相对修正为 5π²/(42R²)。

这提供了曲线斜率之外的独立检查：过采样率加倍时，首项噪声缩小约三十二倍，而相对近似误差约缩小四倍。该展开仍以白误差线性模型为前提，不能推断量化器产生的离散杂散或闭环过载行为。

03
物理含义

二次差分消去误差中的常数分量和线性趋势，将误差更多地移到高频。低频抑制来自两个零点，而不是量化误差总能量消失。

04
固定参数算例

对过采样率16、32、64、128进行数值积分，与五次幂近似比较；另外用独立均匀误差序列验证二次差分的频域恒等式。

固定参数数值验证结果

量	数值
variance e	0.0833333333333
OSR min	16
OSR max	128
noise OSR64	1.5115544324e-09
approx max relerr	0.00460041951727
doubling gain dB	15.0505654374
spectral identity error	1.70530256582e-13

图 1　二阶Sigma Delta噪声整形的理论关系与固定参数验证

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261036；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

RTL仅实现 e[n]−2e[n−1]+e[n−2] 的整数二次差分核，对应线性噪声传递函数；不包含一位量化器或闭环积分器，不能用于证明完整调制器稳定。

RTL 采用同步有效信号和异步低有效复位；空拍保持状态且输出无效。除另有说明外，输入为16位有符号整数，结果为64位有符号整数，测试范围内不截断或饱和。

输出在采样时钟上升沿更新。自检覆盖连续样本、空拍和复位；未进行器件布局布线、时序收敛或功耗验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

二阶噪声传递模型用于过采样数据转换链的带内噪声预算。抽取低通的阻带衰减需要与带外噪声抬升同时考虑，不能只依据量化位数估算输出噪声。闭环拓扑确定之后，还需分别验证非线性状态范围和实际输入幅度。

07
工程上需要注意

确定性输入可造成误差相关和空闲音，违背白噪声近似。

高阶闭环可能过载或产生极限环，必须另行分析状态有界性。

抽取滤波器有限阻带会把带外噪声混叠回信号带。

二阶噪声整形在直流处设置二重零点，使加性误差的低频功率按频率四次方衰减；其带内噪声近似与过采样率的五次方成反比。

内容依据：每日精学第 117 课《二阶Sigma Delta噪声整形》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 117｜二阶Sigma Delta噪声整形

01模型与符号

02从模型到公式

二次差分模型

低频幅度与功率

带内积分

低频渐近式及其积分误差

03物理含义

04固定参数算例

05数字实现的边界

06适用范围