每日精学 121｜转置型FIR与状态递推

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转置型FIR通过部分和状态实现与直接卷积相同的传递函数，但寄存器保存的是未来输出贡献而不是历史输入。

01
模型与符号

固定三抽头实系数、零初始状态、精确算术；比较使用相同有效样本索引。

02
从模型到公式

状态方程

以更新前状态定义输出：

状态必须同步更新，不能把本拍新状态代入同拍旧状态位置。

消元证明

上一拍第二状态满足 s₂[n−2]=b₂x[n−2]，故

代回输出方程得到

这正是三抽头直接型卷积。

状态范围

若 |x[n]|≤ X，则

不同寄存器需要不同保护位，数学等价不要求物理状态逐项相同。

状态消去与冲激尾部

对整数系数 [1,2,1]，沿前两个状态记为 s₁,s₂，有效样本更新为

将前两次状态代回输出，得到

说明转置结构改变了内部数据流而没有改变零状态传递函数。

若初始状态不是零，还额外产生有限长度的初值响应。

上式假定末尾继续送入有效零样本以冲出尾部；

停止发送有效输入会冻结状态，而非使冲激尾部自动流出。因此有限记录卷积的末尾补零与接口空拍必须分开安排，比较直接卷积时也必须使用相同初值和输出长度。

03
物理含义

输入样本同时形成多个加权贡献，并在随后的有效采样时刻逐级进入输出。其寄存器位置利于乘加流水实现。

04
固定参数算例

以 [1,2,1]/4 比较直接卷积、显式转置递推和随机空拍下的有效样本输出，检查冲激尾部及复位后的状态。

图 1　转置型FIR与状态递推的理论关系与固定参数验证

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261040；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

RTL实现未归一化系数 [1,2,1] 的转置递推，输出外部除以4；两个64位部分和寄存器仅在有效样本时更新。 RTL 采用同步有效信号和异步低有效复位；

空拍保持状态且输出无效。除另有说明外，输入为16位有符号整数，结果为64位有符号整数，测试范围内不截断或饱和。输出在采样时钟上升沿更新。自检覆盖连续样本、空拍和复位；

未进行器件布局布线、时序收敛或功耗验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

转置结构适用于带乘加寄存器的数字滤波流水线。不同抽头状态保存部分和，有助于把长加法链分布到多个节拍；流式接口必须让数据与有效信号同步传播。运行中切换系数时，需要定义旧状态保留、清零或渐变的行为。

07
工程上需要注意

不同结构中舍入位置不同，有限字长结果不必完全相同。

复位状态不一致会产生启动瞬态。

系数突变时部分和包含旧系数贡献。

内容依据：每日精学第 121 课《转置型FIR与状态递推》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。