每日精学 122｜一阶指数平滑器的极点与时间常数

2026-09-25

雷达 · 通信 · 电子战　/　基础精学 122

一阶指数平滑器的反馈系数同时决定极点半径、冲激衰减和阶跃稳定时间，其时间常数可由离散指数精确换算。

01
模型与符号

系数满足 0<a<1，输入输出采样周期固定为 Ts，状态初始为零。

a：反馈系数（无量纲）

Ts：采样间隔（s）

τ：指数时间常数（s）

n：有效样本索引（sample）

02
从模型到公式

系统函数

递推

y[n]=ay[n-1]+(1-a)x[n]

经变换得到

H(z)=\frac{1-a}{1-az^{-1}}.

唯一极点在 z=a，所以 |a|<1 时冲激响应绝对可和。

冲激与阶跃

几何级数展开给出

h[n]=(1-a)a^nu[n].

对单位阶跃求卷积，有

y[n]=(1-a)\sum_{k=0}^{n}a^k=1-a^{n+1}.

剩余误差按同一极点指数衰减。

时间常数

令 an=e−nTs/τ，两端取对数，得到

\tau=-\frac{T_s}{\ln a}.

达到相对误差 ϵ 需要 an+1≤ϵ，即 n+1≥lnϵ/ln a。

仅当 1-a\ll1 时可用 τ≃ Ts/(1−a)。

截断递推的稳态偏差界

整数平滑器每次算术右移产生误差 ϵn∈(−1,0]。令整数结果与相同输入的精确递推之差为 dn，则

d_n=\frac78d_{n-1}+\epsilon_n,\qquad d_n=\left(\frac78\right)^nd_0+\sum_{i=1}^n\left(\frac78\right)^{n-i}\epsilon_i.

零初始误差时可由几何级数直接得到 −8<dn≤0。

这是最坏确定性界，不依赖误差独立或白噪声假设。常值整数输入 X 下，固定点要求

\left\lfloor\frac{X-Y}{8}\right\rfloor=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 0\le X-Y<8.

因此输出可能停止在输入下方七个整数单位以内，而不是无限逼近输入。

增加状态小数位可缩小物理偏差，改变舍入规则会改变固定点集合；单纯延长运行时间不能消除这种量化死区。

03
物理含义

极点接近单位圆意味着更长记忆和更窄低通带宽，但也造成更慢的阶跃响应。

04
固定参数算例

固定 a=7/8，验证几何冲激响应、单位阶跃精确表达式和百分之一稳定时间，并比较精确时间常数与小步长近似。

固定参数数值验证结果
量数值
pole0.875
时间常数 / 样本7.48887568942
approx time constant8
one percent samples35
step identity error2.22044604925e-16
integer max error6.99962240104
integer final9993
图 1：一阶指数平滑器的极点与时间常数的理论关系与固定参数验证图 1：一阶指数平滑器的极点与时间常数的理论关系与固定参数验证

图 1　一阶指数平滑器的极点与时间常数的理论关系与固定参数验证

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261041；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

RTL采用 y\leftarrow y+((x-y)\mathbin{\gg}3)，实现 a=7/8 的定点平滑器；算术右移向负无穷截断，和浮点模型存在不超过有限误差累积界的偏差。

RTL 采用同步有效信号和异步低有效复位；空拍保持状态且输出无效。除另有说明外，输入为16位有符号整数，结果为64位有符号整数，测试范围内不截断或饱和。

输出在采样时钟上升沿更新。自检覆盖连续样本、空拍和复位；未进行器件布局布线、时序收敛或功耗验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

指数平滑可用于接收功率读数、噪声底估计和传感器慢变量显示。时间常数由实际有效采样间隔决定，因此同一个反馈系数在不同抽取率下对应不同物理平滑时间。用于显示的长时间常数不能未经分析直接放入快速反馈环。

07
工程上需要注意

系数量化为1会失去直流跟踪能力。

负数算术右移引入非对称截断偏差。

有效样本节拍不均匀时，物理时间常数也随之改变。

一阶指数平滑器的反馈系数同时决定极点半径、冲激衰减和阶跃稳定时间，其时间常数可由离散指数精确换算。

内容依据：每日精学第 122 课《一阶指数平滑器的极点与时间常数》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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