每日精学 124｜二阶陷波器的零极点半径

2026-09-25

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共轭单位圆零点决定二阶陷波器的中心频率，共角度内缩极点决定陷波附近的频率选择性与瞬态衰减。

01
模型与符号

中心频率 0<ω0<π，极点半径 0<r<1，初始状态为零。

ω0：陷波中心（rad/sample）

r：极点半径（无量纲）

K：直流归一化系数（无量纲）

H(z)：传递函数（无量纲）

02
从模型到公式

零极点成对

零点为

e^{\pm\mathrm j\omega_0}

极点为

re^{\pm\mathrm j\omega_0}

因而

H(z)=K\frac{1-2\cos(\omega_0)z^{-1}+z^{-2}}{1-2r\cos(\omega_0)z^{-1}+r^2z^{-2}}.

在

z=e^{\mathrm j\omega_0}

处分子严格为零。


增益与递推

令直流增益为1，得到

K=\frac{1-2r\cos(\omega_0)+r^2}{2-2\cos(\omega_0)}.

两边交叉相乘对应

y[n]=2r\cos(\omega_0)y[n-1]-r^2y[n-2]+K(x[n]-2\cos(\omega_0)x[n-1]+x[n-2]).

衰减与局部带宽

自然响应包含 rncos(ω0n+ϕ)，其包络时间常数为

\tau_s=-1/\ln r.

令

\delta=\omega-\omega_0

为中心角频率偏移。

当 r 接近1、|\delta|\ll1 且中心远离0、π，局部极点距离近似为 \sqrt{(1-r)^2+r\delta^2}，故陷波宽度量级随 1−r 缩小；

此处不把该量级当成全频率精确3 dB带宽。

陷波附近的局部带宽尺度

在中心频率附近令

\omega=\omega_0+\delta

零点和同角度极点的局部距离分别满足

|1-e^{-\mathrm j\delta}|^2\approx\delta^2,\qquad |1-re^{-\mathrm j\delta}|^2=(1-r)^2+2r(1-\cos\delta) \approx(1-r)^2+r\delta^2.

当另一对共轭因子在该小区间变化缓慢时，局部功率比的主要变化由 δ2/[(1−r)2+rδ2] 控制。

两项相当的位置约为

|\delta|\approx\frac{1-r}{\sqrt r}.

它解释了极点靠近单位圆时陷波变窄，但不是任意中心频率和归一化方式下的精确半功率带宽。

与此同时，状态衰减包络约为 rn，窄陷波对应更长的瞬态；只看稳态零点深度会遗漏启动和系数切换后的恢复时间。

03
物理含义

极点补偿零点附近以外的幅度下降。极点越靠近零点，陷波越窄而振铃越持久。

04
固定参数算例

固定中心 π/3，比较半径0.8和0.98，核对精确陷波频点、直流归一化和极点模，并绘制冲激衰减。

固定参数数值验证结果
量数值
center over pi0.333333333333
radius low0.8
radius high0.98
center max abs3.23725587055e-15
dc max error0
tau low samples4.48142011772
tau high samples49.4983164525
图 1：二阶陷波器的零极点半径的理论关系与固定参数验证图 1：二阶陷波器的零极点半径的理论关系与固定参数验证

图 1　二阶陷波器的零极点半径的理论关系与固定参数验证

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261043；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

RTL实现中心 π/3 时的分子核 x[n]−x[n−1]+x[n−2]。完整IIR反馈、归一化增益与半径控制由外部模块负责，硬件验证不声称覆盖完整陷波器。

RTL 采用同步有效信号和异步低有效复位；空拍保持状态且输出无效。除另有说明外，输入为16位有符号整数，结果为64位有符号整数，测试范围内不截断或饱和。

输出在采样时钟上升沿更新。自检覆盖连续样本、空拍和复位；未进行器件布局布线、时序收敛或功耗验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

二阶陷波用于基础测量中的单频电源分量抑制或固定频率杂散隔离。中心频率由零点角度设置，半径则控制窄带选择性与振铃。测量记录长度应覆盖足够的瞬态衰减时间，否则启动响应会被误认为抑制不充分。

07
工程上需要注意

中心系数量化会移动零点频率。

接近单位圆的极点对误差和状态范围更敏感。

有限观测窗可能掩盖窄陷波或未衰减的瞬态。

共轭单位圆零点决定二阶陷波器的中心频率，共角度内缩极点决定陷波附近的频率选择性与瞬态衰减。

内容依据：每日精学第 124 课《二阶陷波器的零极点半径》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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