每日精学 130｜抽取结构的Noble恒等式

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高采样率稀疏滤波器与抽取器可以交换位置，使等效密集滤波在低采样率上执行，前提是滤波器延迟与抽取倍数一致。

01
模型与符号

抽取倍数M，稀疏高采样率滤波器为 H(z^M)；两结构均从零初始状态及相位0开始。

02
从模型到公式

稀疏滤波

高采样率系统函数

对应

非零系数只位于M的整数倍延迟。

索引交换

抽取后令 n=Mm，得到

定义先抽取序列 x_d[m]=x[Mm]，则

这与低采样率执行H完全一致。

运算与限制

若滤波器有K个非零系数，高速实现每原始样本需K次乘法，交换后平均为

次乘法每原始样本。一般的 H(z) 含非M倍延迟，不能直接进行相同交换；需要先做多相分解。

稀疏抽头条件为何不可省略

设高速滤波器仅在 M 的整数倍抽头处非零，即 g[n]=0 对非整数倍位置成立。保留相位零的输出为

等价交换来自每一项都只使用同一抽取相位，而不是所有滤波器都可跨过抽取器。

若增加一个非零的一阶抽头 c，输出立即出现

第二项属于另一个相位，仅保留 x_D 后无法再计算。

不同抽取起始相位同样必须在两种结构中一致；数学恒等式默认零状态和相同延拓，有限记录边界或复位时刻不同也会使数值比较出现差异。

03
物理含义

恒等式来自索引整除关系，不是忽略被丢弃样本的近似。其价值在于让相同计算以更低节拍执行。

04
固定参数算例

取M=2、h=[1,2,1]，比较高采样率稀疏卷积后抽取和先抽取再卷积，额外用非稀疏滤波器构造不能交换的反例。

图 1　抽取结构的Noble恒等式的理论关系与固定参数验证

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261049；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

RTL实现高速稀疏FIR x[n]+2x[n−2]+x[n−4]，外部每2个有效输入取一次结果；MATLAB验证与低速三抽头结构的等价性。 RTL 采用同步有效信号和异步低有效复位；

空拍保持状态且输出无效。除另有说明外，输入为16位有符号整数，结果为64位有符号整数，测试范围内不截断或饱和。输出在采样时钟上升沿更新。自检覆盖连续样本、空拍和复位；

未进行器件布局布线、时序收敛或功耗验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

Noble恒等式用于多速率滤波结构变换与运算调度。满足稀疏延迟条件时，可把乘加通路移到低采样率一侧而不改变任何保留输出。对一般原型滤波器，先按相位拆分再应用恒等式，才能获得完整等效实现。

07
工程上需要注意

必须保持相同抽取相位和初始状态。

普通密集滤波器不能未经分解直接交换。

有限块尾部若丢弃不一致会出现表面误差。

内容依据：每日精学第 130 课《抽取结构的Noble恒等式》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。