每日精学 131｜有理重采样的相位调度

2026-09-25

雷达 · 通信 · 电子战　/　基础精学 131

有理重采样的每个输出样本可由输出索引除法唯一映射到输入样本索引与多相支路，避免实际构造大量零值。

01
模型与符号

转换比L/M已经约为互素正整数；原型FIR为h，输出相位从0开始，越界输入按零延拓。

L,M：插值和抽取因子（无量纲）

q_m：输入基准索引（sample）

r_m：多相支路（整数）

h[k]：原型FIR（无量纲）

02
从模型到公式

串接模型

插零、滤波、抽取的输出为

$y[m]=\sum_n x[n]h[mM-nL].$

只有与 mM 对L同余的原型系数参与该输出。

商余分解

由除法算法写成

$mM=q_mL+r_m,\qquad0\leq r_m<L.$

令 n=q_m−k，即得

$y[m]=\sum_kh[r_m+kL]x[q_m-k].$

相位编号决定一组系数，商决定输入时间位置。

递推调度

从 r₀=q₀=0 出发，可递推

$t=r_m+M,\quad q_{m+1}=q_m+\lfloor t/L\rfloor,\quad r_{m+1}=t\bmod L.$

该式允许M大于L，不能简单假设每次最多推进一个输入。

商余递推和相位周期

令输出索引 m 对应商

$q_m=\lfloor mM/L\rfloor$

和余数 r_m=mM−Lq_m。不必每次从头除法，商余可按固定步进更新：

$t_m=r_m+M,\quad r_{m+1}=t_m\bmod L,\quad q_{m+1}=q_m+\lfloor t_m/L\rfloor.$

当 L=5,M=3 时，前五个相位为 0,3,1,4,2，再回到零；

相位周期为

$T_r=L/\gcd(L,M).$

商递增量可能为零、一或更大的整数，取决于比例，不能把有理重采样理解为每次输出必定消耗一个新输入。

相位周期闭合不代表输入地址回绕；输入基址仍随输出总索引单调前进，有限缓存的模地址是另一层管理。

03
物理含义

采样率转换的时间关系被分成整数输入推进和有限个分数相位；系数存储按余数分类即可复用同一乘加结构。

04
固定参数算例

取L=5、M=3与固定17抽头原型，逐点比较显式插零卷积抽取和商余多相公式，检查连续相位调度及输入索引单调性。

固定参数数值验证结果

量	数值
interpolation factor	5
抽取倍数	3
输入长度	51
输出长度	89
polyphase max error	2.22044604925e-16
phase count	5
last input base	52

图 1　有理重采样的相位调度的理论关系与固定参数验证

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261050；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

RTL针对L=5、M=3，输入a为非负输出索引，计算相位 (3a) mod 5 和输入基址 $\lfloor3a/5\rfloor$ 。常数除法可综合；

乘加滤波不在该调度核内。 RTL 采用同步有效信号和异步低有效复位；空拍保持状态且输出无效。除另有说明外，输入为16位有符号整数，结果为64位有符号整数，测试范围内不截断或饱和。

输出在采样时钟上升沿更新。自检覆盖连续样本、空拍和复位；未进行器件布局布线、时序收敛或功耗验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

有理相位调度适用于两个固定采样率之间的数字接口。相位表保存滤波系数，输入基址控制环形缓存读取，二者共同给出每个输出样本的时间位置。输出端反压会暂停调度状态，而不能只暂停乘加结果的发送。

07
工程上需要注意

原型滤波器仍须同时满足抗镜像和抗混叠要求。

滤波器群时延需换算到正确采样率。

非互素参数会浪费相位存储。

有理重采样的每个输出样本可由输出索引除法唯一映射到输入样本索引与多相支路，避免实际构造大量零值。

内容依据：每日精学第 131 课《有理重采样的相位调度》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 131｜有理重采样的相位调度

01模型与符号

02从模型到公式

串接模型

商余分解

递推调度

商余递推和相位周期

03物理含义

04固定参数算例

05数字实现的边界

06适用范围