每日精学 134｜重叠相加快速卷积

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重叠相加将长序列拆成互不重叠的输入块，对每块进行零填充频域卷积，再相加重叠输出以恢复完整线性卷积。

01
模型与符号

FIR长度K，输入块长B，FFT长度 N≥ B+K−1；输入和系数块外均零延拓。

02
从模型到公式

输入分解

记块 x_q[r]=x[qB+r]，仅 0≤ r<B 非零，则

利用卷积线性与移位性质

避免循环折叠

每块线性卷积长度至多 B+K−1。当 N≥ B+K−1 时，零填充后的循环卷积与线性卷积一致：

重叠区累加

相邻局部输出起点相隔B，局部长度 B+K−1，所以存在K-1点重叠。全输出为

重叠样本必须相加而非覆盖，最后一个不足B的输入块需补零但输出仅保留真实线性卷积长度。

完整卷积长度与末块管理

长度为 B 的输入块与长度 K 的滤波器线性卷积共有 B+K−1 项。若 FFT 长度小于这一长度，循环结果把超出部分折返到块首：

重叠相加只能正确相加不同输入块的线性尾部，不能撤销单块内部已经发生的循环折叠。

因此必须先满足 N≥ B+K−1。长度 N_x 的完整输入最终应产生

个样本，最后不足一块的输入可补零参与运算，但补零产生的无关尾部需要按此长度裁剪。

最后一块输入结束后仍存在滤波器尾部；过早停止输出会使中间各块完全正确而整体卷积仍不完整。

03
物理含义

每个输入块都向其后的K-1个时刻贡献滤波尾部，输出重叠正是卷积记忆的体现。

04
固定参数算例

以257点输入、17抽头FIR、B=48及N=64验证完整重叠相加与直接卷积，另外令FFT长度不足，展示循环折叠误差。

图 1　重叠相加快速卷积的理论关系与固定参数验证

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261053；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

RTL实现64位加宽的输出重叠加法 a+b，a为当前块样本、b为缓冲尾部样本；FFT及尾部地址控制由外部负责。测试覆盖正负极值，64位输出避免16位相加回绕。

RTL 采用同步有效信号和异步低有效复位；空拍保持状态且输出无效。除另有说明外，输入为16位有符号整数，结果为64位有符号整数，测试范围内不截断或饱和。

输出在采样时钟上升沿更新。自检覆盖连续样本、空拍和复位；未进行器件布局布线、时序收敛或功耗验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

重叠相加适用于长FIR和离线大记录卷积。各输入块可独立执行FFT，之后按绝对输出索引累加尾部，因此便于块任务并行。实时处理时还需要给尾部缓存、块等待时间及FFT吞吐量分别分配预算。

07
工程上需要注意

错误FFT长度使局部循环卷积混叠。

最后一块的补零和输出截断必须明确。

块长影响延迟和运算效率，不能只追求大FFT。

内容依据：每日精学第 134 课《重叠相加快速卷积》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。