每日精学 139｜FFT逐级缩放与位宽增长

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基二蝶形的峰值增长可通过保护位或逐级除二控制，整体归一化与每级舍入误差必须分开记账。

01
模型与符号

N为2的幂，复输入幅度有界，旋转因子为单位模；定点模型使用足够宽中间量后进行明确的除二取整。

02
从模型到公式

峰值增长

蝶形 u=a+Wb 满足

所以 A_s+1≤2A_s，p级后 A_p≤ NA₀。这里用复数模界，不能直接把独立实虚部满量程当作同一个模上界。

逐级归一化

每级除以2后 A_s+1≤ A_s，总缩放为

输出对应 X[k]/N；若报告原始DFT幅度，必须乘回N。

误差传播

对缩放蝶形算子 B_s 和舍入误差向量 e_s，递推为

展开得到

误差发生位置影响最终结果，不能把所有缩放前置后宣称逐位等价。

逐级截断误差的传播

对每级除二的蝶形，设该级新增误差向量为

精确级算子为 A_s。累计误差满足

以复数模的最大值作范数，单位模旋转加和后除二给出

因而

此界用于每级完整复数误差，不应把单个实分量的一单位界直接当作复数模界。

若仅有实虚分量分别向下截断，复误差模可达 个输出单位以内；旋转常数量化还需另计。逐级缩放防止增长，但改变了输出标度，六级除二后的结果对应原 DFT 除以六十四。

03
物理含义

保护位保留动态范围但增加存储与乘法代价，逐级缩放保持范围却在每层付出精度损失。

04
固定参数算例

使用N=64的整数输入实现逐级舍入DIT，比较缩放后浮点FFT，记录最大各级幅值及误差；另用满幅常值验证未缩放直流增长N倍。

图 1　FFT逐级缩放与位宽增长的理论关系与固定参数验证

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261058；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

RTL实现一层实数蝶形的算术右移缩放：输出 与 。输入先加宽，右移向负无穷取整；测试包括奇数和负数。

RTL 采用同步有效信号和异步低有效复位；空拍保持状态且输出无效。除另有说明外，输入为16位有符号整数，结果为64位有符号整数，测试范围内不截断或饱和。

输出在采样时钟上升沿更新。自检覆盖连续样本、空拍和复位；未进行器件布局布线、时序收敛或功耗验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

逐级缩放用于有限字长FFT中的范围管理。每级缩放计划可与输入峰值限制、旋转因子精度及后级幅度标定共同设计。测试应包含相干同相叠加形成的高峰值，而不只使用平均功率较低的随机记录。

07
工程上需要注意

旋转因子量化也会贡献误差和轻微增益变化。

若按实虚部分量限定范围，需考虑旋转后的分量增长。

后级幅度标定必须包含全部级缩放。

内容依据：每日精学第 139 课《FFT逐级缩放与位宽增长》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。