每日精学 148｜Newton迭代定点倒数

2026-09-25

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倒数的Newton迭代把每步误差平方，在归一化正输入和合适初值下快速收敛；定点舍入最终形成精度底限。

01
模型与符号

正输入归一化到 1≤ d<2，实数初值取 r0=1/2，每步定点运算使用加宽中间量。

d：归一化正除数（无量纲）

rk：倒数近似（无量纲）

ϵk：相对残差（无量纲）

F：定点小数位（bit）

02
从模型到公式

Newton公式

对 f(r)=1/r−d=0 使用Newton法，

f^{\prime}(r)=-1/r^2

得到

r_{k+1}=r_k-\frac{1/r_k-d}{-1/r_k^2}=r_k(2-dr_k).

每步只需要乘法和减法。

误差平方

令 ϵk=1−drk，则

\epsilon_{k+1}=1-dr_k(2-dr_k)=(1-dr_k)^2=\epsilon_k^2.

当 |ϵ0|<1 时二次收敛。

所选区间和初值给出 0<ϵ0≤1/2，故 |ϵk|≤2−2k。

定点更新

整数尺度 S=2F，D表示d，R表示r，可采用

T=\lfloor DR/S\rfloor,\qquad R_{new}=\lfloor R(2S-T)/S\rfloor.

两处取整引入误差，精确平方律不再严格成立；

迭代到残差接近一个量化单位后应停止，并单独处理零、负数及去归一化指数。

定点误差底与二次收敛区

精确倒数迭代 x+=x(2−dx) 的相对残差定义为 e=1−dx，代入得到

e^{+}=1-dx(2-dx)=(1-dx)^2=e^2.

只要初始 |e|<1，精确算术残差二次收敛。

若一次迭代的实际输出另含绝对误差 η，则

\widetilde e^{+}=e^2-d\eta.

当 e2 已与 |dη| 相当，继续迭代不再保证精度按平方改善；

甚至可能在几个相邻码之间停留。初值区间、乘积宽度和每次缩放位置共同决定可用精度。零分母没有倒数，负数或未归一化输入也不能未经处理套用正分母初值范围。

03
物理含义

每次迭代利用当前乘积偏离1的程度纠正倒数，正确位数在实数模型中近似倍增。

04
固定参数算例

对归一化区间密集扫描，验证前4步实数误差平方律和Q14整数实现最终误差，检查端点及单步整数公式。

固定参数数值验证结果
量数值
小数位数14
denominator count16384
square law error3.47197163194e-16
initial relative residual0.5
iteration4 relative residual1.52587890625e-05
Q14 max absolute error6.103515625e-05
Q14 error in lsb1
图 1：Newton迭代定点倒数的理论关系与固定参数验证图 1：Newton迭代定点倒数的理论关系与固定参数验证

图 1　Newton迭代定点倒数的理论关系与固定参数验证

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261067；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

RTL实现Q14单步更新，输入a为D、b为R，使用64位乘积和两次算术右移，输出新R；归一化、初值、迭代计数与异常输入处理由外部完成。 RTL 采用同步有效信号和异步低有效复位；

空拍保持状态且输出无效。除另有说明外，输入为16位有符号整数，结果为64位有符号整数，测试范围内不截断或饱和。输出在采样时钟上升沿更新。自检覆盖连续样本、空拍和复位；

未进行器件布局布线、时序收敛或功耗验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

Newton倒数用于归一化增益、比例计算和以乘法替代除法的数据通路。归一化指数可独立保存，尾数在固定区间内迭代。输入为零或接近最小正值时应有单独控制路径，不能把常规迭代当作异常值处理。

07
工程上需要注意

不满足初始残差小于1时不保证收敛。

输入未归一化会改变字长与初值有效范围。

重复迭代无法消除量化底限，还可能形成循环。

倒数的Newton迭代把每步误差平方，在归一化正输入和合适初值下快速收敛；定点舍入最终形成精度底限。

内容依据：每日精学第 148 课《Newton迭代定点倒数》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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