每日精学 150｜有偏与无偏样本自相关

2026-09-25

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有限记录中可用于相关计算的样本对数量随滞后增大而减少。频谱估计与参数辨识需要同时考虑相关幅值偏差、长滞后方差和由估计值构造的矩阵是否半正定，因而分母选择不只是尺度约定。

01
模型与符号

实值零均值宽平稳过程；总体均值已知为零，不再估计均值；只讨论非负滞后且不作循环延拓。

N：记录长度（样本）

k：非负滞后（样本）

r[k]：总体自相关（幅度平方）

C[k]：未归一化乘积和（幅度平方）

02
从模型到公式

有效样本对

滞后为 k 时，两段记录的交集仅有 N−k 项。不存在的边界样本不参与乘积。

$C[k]=\sum_{n=0}^{N-k-1}x[n+k]x[n]$

期望计算

利用宽平稳性，每一项的期望均相同，求和与期望可交换。

$\mathrm E\{C[k]\}=(N-k)r[k]$

两种归一化

固定分母导致三角形偏差；随滞后变化的分母消除该偏差。

$\widehat r_b[k]=\frac{C[k]}N,\quad \widehat r_u[k]=\frac{C[k]}{N-k}$

偏差关系

在总体均值已知的前提下，无偏性逐个滞后成立。

$\mathrm E\widehat r_b[k]=(1-k/N)r[k],\quad\mathrm E\widehat r_u[k]=r[k]$

非负谱性质

零补齐记录的双边有偏相关等于其能量谱的逆变换，因此频谱不会出现负值。

$\sum_{k=-(N-1)}^{N-1}\widehat r_b[k]e^{-\mathrm j\omega k}=\frac1N|X(e^{\mathrm j\omega})|^2\geq0$

白噪声边界方差

对独立零均值实高斯白噪声且 k>0，不同乘积的协方差为零，得到边界方差放大。

$\operatorname{var}(\widehat r_u[k])=\frac{\sigma^4}{N-k},\quad \operatorname{var}(\widehat r_b[k])=\frac{(N-k)\sigma^4}{N^2}$

均方误差与非负谱的不同约束

逐滞后无偏性只约束均值，不约束整组估计是否能够组成合法协方差。以长度二的确定性记录 x=[1,1] 为例，无偏相关的零滞后和一阶滞后均为一，其双边傅里叶变换为

$S_u(\omega)=1+2\cos\omega,\qquad S_u(\pi)=-1.$

对应有偏序列则得到

$S_b(\omega)=1+\cos\omega\ge0$

负谱不是原始信号具有负功率，而是逐点分母补偿破坏了相关序列的整体约束。对白噪声的非零滞后，两种估计均值均为零，均方误差直接等于方差，因此

$\frac{\operatorname{MSE}(\widehat r_u[k])} {\operatorname{MSE}(\widehat r_b[k])}=\frac{N^2}{(N-k)^2},\qquad 0<k<N.$

该比例在 k 接近记录边界时迅速增加；

在有色过程下，有偏估计还含非零偏差平方项，不能照搬这一均方误差排序。是否要求非负谱、是否重点关心短滞后，是两项需要分开说明的工程约束。

03
物理含义

无偏并不意味着均方误差最小。长滞后处只剩少量样本对，分母补偿同时放大随机波动。有偏估计的三角形权重可以看作对高方差边界的主动压低；其代价是相关峰幅度系统性缩小。

04
固定参数算例

采用长度64的白噪声记录、6000次独立重复，比较零滞后、滞后1与滞后48的期望和方差，并验证有偏与无偏估计的逐记录比例关系。数值脚本使用固定随机种子；

随机实验的判据采用有限容差，代数关系的判据采用浮点残差。图中同时展示参数变化趋势与对应误差，关键数值写入独立结果文件。

固定参数数值验证结果

量	数值
记录长度	64
repetitions	6000
zero lag mean	1.00141278294
lag48 unbiased var	0.0618230516235
lag48 theory var	0.0625
lag48 biased var	0.00386394072647
normalization identity error	2.77555756156e-17

图 1　有偏与无偏样本自相关的固定参数数值验证

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261069；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

SystemVerilog实现外部提供两个滞后对齐样本后的乘积、两路平方与有效对数块累加子核；延迟存储和分母归一化不在子核中。端口为16位有符号码，内部64位，同步复位，valid空拍保持状态；

按外部首尾标志进行块累加并在块尾输出。自检覆盖多组数据、空拍、边界和复位，仅验证所述整数子核，不代表完整算法的硬件验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

适用于噪声相关测量、AR模型前端统计量和谱估计预处理。若后续算法要求半正定Toeplitz矩阵，分母选择应优先考虑矩阵结构，而非只比较单点偏差。

07
工程上需要注意

从同一记录估计并去除均值时，上述简单无偏公式不再严格成立。

零补齐与循环延拓对应不同估计问题。

有限精度实现必须区分输入量化、内部舍入和最终结果格式，不能仅依据浮点曲线估计硬件误差。

固定分母保留非负能量谱结构；有效对数分母获得逐滞后无偏性，但在长滞后处付出更大的方差。

内容依据：每日精学第 150 课《有偏与无偏样本自相关》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 150｜有偏与无偏样本自相关

01模型与符号

02从模型到公式