每日精学 154｜三点抛物线亚采样时延插值

2026-09-25

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三点抛物线插值利用离散相关峰附近的曲率估计亚采样峰位，不需要改变采样间隔，但引入局部二次模型偏差。

实际记录只包含有限个采样值。由记录计算得到的数值与总体参数并不相同：前者受记录长度、噪声、边界约定及运算精度影响，后者属于给定模型的属性。建立可复核结论需要先固定输入含义、统计假设和归一化方式，再比较可计算量与理论量。

01
模型与符号

相关峰为实值光滑局部极大值；三个点等间距；中心点是已检测整数峰；分母非零且估计偏移限制在半采样附近。

r₋,r₀,r₊：峰附近三个相关值（相关幅度）

δ：相对中心点的亚采样偏移（样本）

a,b,c：局部二次拟合参数（多项式系数）

02
从模型到公式

局部模型

以整数峰为坐标原点，在相邻三点拟合二次函数。

$q(u)=au^2+bu+c,\quad q(-1)=r_-,\ q(0)=r_0,\ q(1)=r_+$

系数求解

由左右点相减与相加分别得到斜率和曲率。

$c=r_0,\quad b=\frac{r_+-r_-}{2},\quad a=\frac{r_- -2r_0+r_+}{2}$

驻点条件

一阶导数为零给出顶点位置；二阶导数负值保证局部最大。

$q^{\prime}(u)=2au+b=0,\quad a<0$

偏移闭式

代入系数得到常用三点公式。

$\widehat\delta=\frac{r_- -r_+}{2(r_- -2r_0+r_+)}$

峰高估计

将顶点代回二次函数，得到插值峰高。

$\widehat r_{\max}=r_0-\frac{(r_+-r_-)^2}{8(r_- -2r_0+r_+)}$

退化条件

曲率接近零时噪声被小分母放大，必须拒绝不可靠解。

$|r_- -2r_0+r_+|\leq\eta\quad\Longrightarrow\quad\text{不使用亚采样修正}$

曲率小分母的扰动放大

记 u=r₋ −r₊、v=r₋ −2r₀+r₊，顶点偏移为 δ=u/(2v)。对小扰动作一阶展开得到

$\Delta\delta\approx\frac{\Delta u}{2v}-\frac{u\,\Delta v}{2v^2}.$

若三个幅度读数误差均不超过 ϵ，则 |Δ u|≤2ϵ、|Δ v|≤4ϵ，因而

$|\Delta\delta|\lesssim\frac{\epsilon}{|v|}+\frac{2|u|\epsilon}{|v|^2}.$

该局部界要求扰动不足以改变峰的识别和曲率符号。

它明确解释平顶峰为何不宜输出高精度小数：分母接近零会放大幅度噪声，而不是算术除法本身不够精确。越界偏移应标记退化或回退到整数峰，不能把任意比值当成可靠亚采样结果。

03
物理含义

整数峰两侧不对称表示顶点偏向其中一侧，二阶差分则给出峰宽或曲率尺度。公式对真实抛物线精确，对高斯、sinc或多径叠加峰只是一种近似。增加小数位并不等价于增加物理分辨率，估计精度来自已存在的峰形信息。

04
固定参数算例

扫描偏移从负0.45到正0.45的抛物线和高斯峰，检查抛物线的机器精度复原与高斯峰的系统偏差，并检查中心对称峰输出零修正。数值脚本使用固定随机种子；随机实验的判据采用有限容差，代数关系的判据采用浮点残差。图中同时展示参数变化趋势与对应误差，关键数值写入独立结果文件。

固定参数数值验证结果

量	数值
offset count	91
gaussian width	1.4
max parabolic error	3.88578058619e-16
max gaussian bias	0.0244827659296
symmetric peak offset	-0
largest test offset	0.45
mean gaussian bias	-9.15018976339e-19

图 1　三点抛物线亚采样时延插值的固定参数数值验证

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261073；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

SystemVerilog实现三个峰值输入的差分分子、二阶差分分母及曲率符号；除法和峰搜索由外部完成。端口为16位有符号码，内部64位，同步复位，valid空拍保持状态；逐有效输入输出。自检覆盖多组数据、空拍、边界和复位，仅验证所述整数子核，不代表完整算法的硬件验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

适用于带宽受限波形的相对时延细化和数字相关器输出后处理。实现时应保存整数峰索引，明确插值失败时返回整数结果。

07
工程上需要注意

多个相邻峰叠加时，局部顶点不一定对应真实时延。

平顶峰、边界峰与噪声错误峰不满足二次局部模型。

有限精度实现必须区分输入量化、内部舍入和最终结果格式，不能仅依据浮点曲线估计硬件误差。

三点插值是一个曲率归一化的局部修正，精确性取决于峰形而非输出小数位数。

内容依据：每日精学第 154 课《三点抛物线亚采样时延插值》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 154｜三点抛物线亚采样时延插值

01模型与符号

02从模型到公式