每日精学 159｜样本方差的Bessel校正

2026-09-25

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从同一组样本估计均值会消耗一个自由度。中心平方和除以样本数产生负偏差，除以样本数减一可恢复总体方差的无偏性。

实际记录只包含有限个采样值。由记录计算得到的数值与总体参数并不相同：前者受记录长度、噪声、边界约定及运算精度影响，后者属于给定模型的属性。建立可复核结论需要先固定输入含义、统计假设和归一化方式，再比较可计算量与理论量。

01
模型与符号

实值独立同分布样本，有限二阶矩且记录长度大于一；分布公式额外要求高斯。

S：中心平方和（幅度平方）

s²：无偏样本方差（幅度平方）

N−1：残差自由度（无量纲）

02
从模型到公式

中心平方和

每个残差围绕同一记录均值计算。

$S=\sum_n(x_n-\bar x)^2$

平方和恒等式

插入总体均值，交叉项因残差和为零而消失。

$S=\sum_n(x_n-\mu)^2-N(\bar x-\mu)^2$

期望损失

第二项的期望恰好是一份总体方差。

$\mathrm E S=N\sigma^2-N\frac{\sigma^2}{N}=(N-1)\sigma^2$

分母校正

两种分母对应不同偏差。

$\mathrm E\frac SN=\frac{N-1}{N}\sigma^2,\quad s^2=\frac S{N-1},\quad\mathrm E s^2=\sigma^2$

高斯自由度

均值方向与其正交残差子空间分离。

$\frac{(N-1)s^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{N-1}$

方差估计波动

利用卡方分布的方差可量化小记录的不稳定性。

$\operatorname{var}(s^2)=\frac{2\sigma^4}{N-1}$

自由度损失的投影解释

去除样本均值等价于应用投影矩阵

$P=I-\boldsymbol1\boldsymbol1^{\mathrm T}/N$

它满足 P²=P，并且

$\operatorname{tr}(P)=N-1.$

对独立同方差零均值扰动

$\boldsymbol e$

中心平方和的期望为

$\mathrm E[\boldsymbol e^{\mathrm T}P\boldsymbol e] =\operatorname{tr}(P\sigma^2I)=(N-1)\sigma^2.$

分母从 N 改为 N−1 因而来自估计均值消耗一个独立方向，而不是经验放大。

若同时拟合更多独立参数，剩余秩会进一步变化；若噪声相关或异方差，期望变为 tr(PΣ)，简单的 Bessel 校正不再普遍保证无偏。

03
物理含义

样本残差之和必须为零，因此最后一个残差受其余残差限制。这个约束解释了少一个自由度，也说明无偏校正只修复期望，并不消除方差估计本身的随机波动。

04
固定参数算例

对长度4、8、32、128的高斯记录重复6000次，比较两种分母的均值及无偏方差估计的理论方差，验证中心平方和恒等式。数值脚本使用固定随机种子；随机实验的判据采用有限容差，代数关系的判据采用浮点残差。图中同时展示参数变化趋势与对应误差，关键数值写入独立结果文件。

固定参数数值验证结果

量	数值
repetitions	6000
真实方差	4
N4 biased mean	2.99289091008
N4 unbiased mean	3.99052121343
N4 estimator variance	10.8031039933
N4 theory estimator var	10.6666666667
sum square identity error	3.41060513165e-13

图 1　样本方差的Bessel校正的固定参数数值验证

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261078；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

SystemVerilog实现原始和、平方和与计数累加，中心化差值及Bessel分母在软件中计算。端口为16位有符号码，内部64位，同步复位，valid空拍保持状态；

按外部首尾标志进行块累加并在块尾输出。自检覆盖多组数据、空拍、边界和复位，仅验证所述整数子核，不代表完整算法的硬件验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

用于噪声功率测量、蒙特卡洛结果汇总和误差条估计。实际软件接口常在N与N减一间提供选项，记录参数比仅注明调用函数更有可复核性。

07
工程上需要注意

相关样本不满足上述独立自由度计算。

大均值小方差时，直接两大数相减会丧失有效位。

有限精度实现必须区分输入量化、内部舍入和最终结果格式，不能仅依据浮点曲线估计硬件误差。

Bessel校正源于均值估计引入的残差约束，适用于独立有限方差样本，而精确卡方结论依赖高斯假设。

内容依据：每日精学第 159 课《样本方差的Bessel校正》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 159｜样本方差的Bessel校正

01模型与符号

02从模型到公式