每日精学 161｜异方差测量的逆方差加权

2026-09-25

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多个无偏测量具有不同独立噪声方差时，最小方差线性融合采用逆方差权重，权重必须归一化以保持无偏。

实际记录只包含有限个采样值。由记录计算得到的数值与总体参数并不相同：前者受记录长度、噪声、边界约定及运算精度影响，后者属于给定模型的属性。建立可复核结论需要先固定输入含义、统计假设和归一化方式，再比较可计算量与理论量。

01
模型与符号

同一实值常参数的独立测量；方差已知且严格为正；不包含未知通道偏置。

r_i：第i个测量方差（幅度平方）

w_i：归一化权重（无量纲）

θ：共同参数（幅度）

02
从模型到公式

线性融合

无偏约束要求所有权重之和为一。

$\widehat\theta=\sum_iw_ix_i,\quad\sum_iw_i=1$

目标方差

独立性消去所有交叉项。

$V=\operatorname{var}(\widehat\theta)=\sum_iw_i^2r_i$

拉格朗日函数

引入乘子求解带约束二次最小化。

$\mathcal L=\sum_iw_i^2r_i-\lambda(\sum_iw_i-1)$

驻点

每个权重与对应噪声方差成反比。

$2w_ir_i-\lambda=0,\quad w_i=\frac\lambda{2r_i}$

归一化解

利用权重和约束确定乘子。

$w_i=\frac{r_i^{-1}}{\sum_jr_j^{-1}}$

最小方差

代入权重得到信息量相加的形式。

$V_{\min}=\left(\sum_ir_i^{-1}\right)^{-1}$

权重归一化与相关噪声扩展

对独立测量 y_i=μ+e_i，任意无偏线性估计要求

$\sum_iw_i=1$

用 Lagrange 乘子最小化

$\sum_iw_i^2\sigma_i^2$

得到

$w_i=\frac{\sigma_i^{-2}}{\sum_j\sigma_j^{-2}},\qquad \operatorname{var}(\widehat\mu)=\frac1{\sum_j\sigma_j^{-2}}.$

所有逆方差同时乘同一正数不会改变权重，但会改变被错误解释的绝对方差。

若噪声具有已知非对角协方差 Σ，对应结果为

$\boldsymbol w=\frac{\Sigma^{-1}\boldsymbol1} {\boldsymbol1^{\mathrm T}\Sigma^{-1}\boldsymbol1}.$

这说明仅知道每路方差不足以处理共同扰动。

某些相关模型下最优权重还可能为负，因此独立情况下的正权重凸组合性质不能无条件推广。

03
物理含义

较可靠的测量拥有较大权重，但任何有限方差且无偏的独立测量都提供非负信息。若一个通道方差趋于零，它的权重趋于一；所有方差相同时则退化为算术平均。

04
固定参数算例

使用方差1、4、9、16的四个测量通道重复20000次，比较逆方差融合与等权平均，并验证权重和及解析最小方差。数值脚本使用固定随机种子；随机实验的判据采用有限容差，代数关系的判据采用浮点残差。图中同时展示参数变化趋势与对应误差，关键数值写入独立结果文件。

固定参数数值验证结果

量	数值
repetitions	20000
权重和	1
best channel weight	0.70243902439
加权估计方差	0.692868726593
optimal theory variance	0.70243902439
equal weight variance	1.88011979179
weighted bias	0.00217465518383

图 1　异方差测量的逆方差加权的固定参数数值验证

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261080；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

SystemVerilog实现测量乘已知定点权重、权重和及辅助平方统计；权重求逆与归一化在软件中完成。端口为16位有符号码，内部64位，同步复位，valid空拍保持状态；

按外部首尾标志进行块累加并在块尾输出。自检覆盖多组数据、空拍、边界和复位，仅验证所述整数子核，不代表完整算法的硬件验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

用于多次仪器读数融合、不同噪声通道的基准估计和仿真误差加权。可信权重来自独立标定，不能把偶然小残差直接解释为小噪声。

07
工程上需要注意

通道相关时需使用完整逆协方差矩阵，不能只取方差倒数。

未知偏置会破坏无偏约束。

有限精度实现必须区分输入量化、内部舍入和最终结果格式，不能仅依据浮点曲线估计硬件误差。

逆方差加权来自受约束的方差最小化，精度提升依赖噪声模型及无偏假设。

内容依据：每日精学第 161 课《异方差测量的逆方差加权》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 161｜异方差测量的逆方差加权

01模型与符号

02从模型到公式