每日精学 162｜已知波形幅度的高斯最大似然估计

2026-09-25

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已知实波形在白高斯噪声中的未知幅度，可通过展开对数似然并求导得到闭式估计。该结论强调估计概率模型而非检测判决。

实际记录只包含有限个采样值。由记录计算得到的数值与总体参数并不相同：前者受记录长度、噪声、边界约定及运算精度影响，后者属于给定模型的属性。建立可复核结论需要先固定输入含义、统计假设和归一化方式，再比较可计算量与理论量。

01
模型与符号

实值非零已知波形；单一实幅度未知；噪声独立同方差高斯；波形定时及形状无误差。

a：未知幅度（无量纲）

s_n：已知模板（幅度）

E_s：模板能量（幅度平方）

02
从模型到公式

联合密度

独立高斯样本的密度乘积构成幅度似然。

$p(\boldsymbol x;a)=(2\pi\sigma^2)^{-N/2}\exp[-\|\boldsymbol x-a\boldsymbol s\|^2/(2\sigma^2)]$

去除常数

与幅度无关项不影响最大点。

$\ell(a)=C-\frac1{2\sigma^2}\sum_n(x_n-as_n)^2$

一阶条件

对参数求导，数据只通过模板加权和进入。

$\ell^{\prime}(a)=\frac1{\sigma^2}\left(\sum_ns_nx_n-a\sum_ns_n^2\right)$

唯一最大点

非零模板使二阶导数严格为负。

$\ell^{\prime\prime}(a)=-E_s/\sigma^2<0,\quad\widehat a=\frac{\sum_ns_nx_n}{E_s}$

无偏与方差

把观测模型代入估计式。

$\widehat a=a+\frac{\sum_ns_nv_n}{E_s},\quad\operatorname{var}(\widehat a)=\frac{\sigma^2}{E_s}$

模型残差正交

极值条件也给出拟合残差对模板正交。

$\boldsymbol s^{\mathrm T}(\boldsymbol x-\widehat a\boldsymbol s)=0$

波形能量与幅度误差的分离

对实模型

$\boldsymbol y=A\boldsymbol s+\boldsymbol n$

估计误差可直接写成噪声在已知波形方向上的投影：

$\widehat A-A=\frac{\boldsymbol s^{\mathrm T}\boldsymbol n} {\boldsymbol s^{\mathrm T}\boldsymbol s}.$

独立同方差噪声下，其方差为

$\sigma^2/\|\boldsymbol s\|^2$

若模板被整体缩放为

$c\boldsymbol s$

估计参数会相应变成 A/c，拟合信号本身不变：

$\widehat A_c(c\boldsymbol s)=\widehat A\boldsymbol s.$

因此比较幅度估计数值时必须固定模板归一化，而不能只比较相关峰高。

波形失配会产生投影比例偏差；增加样本数只能压低随机噪声部分，不会自动消除错误模板引入的系统偏差。

03
物理含义

似然曲线的曲率由模板能量与噪声方差决定，能量越高峰越尖。幅度估计是一个连续参数问题，不包含存在性门限，也不需要预先规定两类假设。

04
固定参数算例

用64点非恒模模板、幅度1.7和噪声标准差0.5，扫描单次对数似然并比较闭式最大点，重复8000次验证方差及残差正交性。数值脚本使用固定随机种子；随机实验的判据采用有限容差，代数关系的判据采用浮点残差。图中同时展示参数变化趋势与对应误差，关键数值写入独立结果文件。

固定参数数值验证结果

量	数值
记录长度	64
template energy	35.9921394363
真实幅度	1.7
single ML estimate	1.71704299738
residual orthogonality	1.39888101103e-14
empirical variance	0.00686483107964
theory variance	0.00694596108803

图 1　已知波形幅度的高斯最大似然估计的固定参数数值验证

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261081；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

SystemVerilog实现模板乘观测、模板能量与观测能量块累加；归一化除法不在子核内。端口为16位有符号码，内部64位，同步复位，valid空拍保持状态；

按外部首尾标志进行块累加并在块尾输出。自检覆盖多组数据、空拍、边界和复位，仅验证所述整数子核，不代表完整算法的硬件验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

用于测试波形的增益标定、数字通道幅度估计和已知响应系数拟合。模板能量应与实际使用的截断窗口一致。

07
工程上需要注意

未知定时、频偏或模板失配会导致幅度偏差。

有色噪声应采用逆协方差加权似然。

有限精度实现必须区分输入量化、内部舍入和最终结果格式，不能仅依据浮点曲线估计硬件误差。

白高斯模型将幅度最大似然问题化为严格凹二次函数，其唯一解和方差均由模板能量确定。

内容依据：每日精学第 162 课《已知波形幅度的高斯最大似然估计》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 162｜已知波形幅度的高斯最大似然估计

01模型与符号

02从模型到公式