每日精学 169｜AR一阶模型的Yule-Walker估计

2026-09-25

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一阶自回归模型的相关递推把时间域反馈系数转换成相邻自相关的比值，同时给出驱动白噪声方差。

实际记录只包含有限个采样值。由记录计算得到的数值与总体参数并不相同：前者受记录长度、噪声、边界约定及运算精度影响，后者属于给定模型的属性。建立可复核结论需要先固定输入含义、统计假设和归一化方式，再比较可计算量与理论量。

01
模型与符号

实值零均值平稳AR(1)过程，系数绝对值小于一；驱动白噪声与过去样本独立；均值已知。

a：AR反馈系数（无量纲）

q：驱动噪声方差（幅度平方）

r[k]：自相关（幅度平方）

02
从模型到公式

递推模型

当前样本由上一样本和新白噪声组成。

$x_n=ax_{n-1}+w_n,\quad\mathrm E w_n^2=q$

相邻乘积期望

白噪声与过去独立，交叉项为零。

$r[1]=\mathrm E(x_nx_{n-1})=ar[0]$

零滞后方程

平方递推并取期望得到稳态能量平衡。

$r[0]=a^2r[0]+q,\quad r[0]=\frac q{1-a^2}$

参数反解

从两项总体自相关恢复模型参数。

$a=\frac{r[1]}{r[0]},\quad q=r[0]-ar[1]$

样本替代

相同有偏分母形成标准Yule-Walker一阶估计。

$\widehat a=\frac{\widehat r_b[1]}{\widehat r_b[0]},\quad\widehat q=\widehat r_b[0](1-\widehat a^2)$

功率谱

驱动白噪声经一阶全极点系统形成相关谱。

$S_x(e^{\mathrm j\omega})=\frac q{|1-ae^{-\mathrm j\omega}|^2}$

参数接近单位圆时的统计放大

采用

$x_n=\phi x_{n-1}+e_n$

的符号约定，平稳方差满足

$r[0]=\phi^2r[0]+\sigma_e^2, \qquad r[0]=\frac{\sigma_e^2}{1-\phi^2}.$

当 |ϕ| 接近一时，小的驱动噪声也可形成较大的过程方差，相关衰减时间同步增长。

参数扰动对方差的一阶相对影响为

$\frac{\Delta r[0]}{r[0]}\approx\frac{2\phi}{1-\phi^2}\Delta\phi.$

这说明短记录的相关比值估计在近单位根区域不能仅以小绝对参数误差评价。

将估计强行裁到单位圆内可保证一个稳定模型，但引入偏差，不能再宣称未经约束的原估计统计性质保持不变。

03
物理含义

系数是当前值可由上一值解释的比例。正系数强调低频连续性，负系数强调相邻交替；靠近单位圆时相关时间增长，参数估计需要更长记录。

04
固定参数算例

生成系数0.75、驱动方差0.4的20000点平稳序列，比较估计与理论相关，检查解析Yule-Walker方程以及残差方差。数值脚本使用固定随机种子；随机实验的判据采用有限容差，代数关系的判据采用浮点残差。图中同时展示参数变化趋势与对应误差，关键数值写入独立结果文件。

固定参数数值验证结果

量	数值
样本数	20000
真实系数	0.75
估计系数	0.754565322743
true driving variance	0.4
estimated driving variance	0.404163493158
残差方差	0.404131301997
analytic identity error	0

图 1　AR一阶模型的Yule-Walker估计的固定参数数值验证

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261088；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

SystemVerilog实现当前样本与上一样本乘积、平方和及计数累加；比值和噪声方差解算在软件中完成。端口为16位有符号码，内部64位，同步复位，valid空拍保持状态；

按外部首尾标志进行块累加并在块尾输出。自检覆盖多组数据、空拍、边界和复位，仅验证所述整数子核，不代表完整算法的硬件验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

用于相关噪声的紧凑建模、预测器系数初估和低阶谱近似。拟合后应检查残差是否仍有显著相关，而不能只比较单个系数。

07
工程上需要注意

估计均值、短记录与模型阶数不足会带来参数偏差。

比值估计即使使用无偏相关也不保证参数无偏。

有限精度实现必须区分输入量化、内部舍入和最终结果格式，不能仅依据浮点曲线估计硬件误差。

AR一阶模型的Yule-Walker关系来自白驱动与过去的正交性，相关比值给出反馈参数。

内容依据：每日精学第 169 课《AR一阶模型的Yule-Walker估计》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 169｜AR一阶模型的Yule-Walker估计

01模型与符号

02从模型到公式