每日精学 172｜AR一阶预测误差白化

2026-09-25

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已知AR一阶系数时，当前样本减去上一样本的线性预测可恢复白驱动；系数失配会在残差中留下可分析的有色成分。

实际记录只包含有限个采样值。由记录计算得到的数值与总体参数并不相同：前者受记录长度、噪声、边界约定及运算精度影响，后者属于给定模型的属性。建立可复核结论需要先固定输入含义、统计假设和归一化方式，再比较可计算量与理论量。

01
模型与符号

平稳AR(1)，实系数绝对值小于一；白驱动与过去独立；白化器采用确定的估计系数。

a：真实系数（无量纲）

b：白化器系数（无量纲）

e_n：预测残差（幅度）

02
从模型到公式

输入模型

输入是白噪声经过全极点系统的输出。

$x_n=ax_{n-1}+w_n,\quad H(z)=\frac1{1-az^{-1}}$

预测残差

一阶差分滤波器形成预测误差。

$e_n=x_n-bx_{n-1},\quad W(z)=1-bz^{-1}$

精确抵消

当参数一致时，滤波器零点抵消输入模型极点。

$b=a:\quad W(z)H(z)=1,\quad e_n=w_n$

失配分解

误差含白驱动和过去输入的残留。

$e_n=w_n+(a-b)x_{n-1}$

残差方差

两个分量独立，因此能量直接相加。

$\operatorname{var}(e_n)=q+(a-b)^2\frac q{1-a^2}$

残差功率谱

用传递函数比值描述剩余颜色。

$S_e(e^{\mathrm j\omega})=q\frac{|1-be^{-\mathrm j\omega}|^2}{|1-ae^{-\mathrm j\omega}|^2}$

模型失配留下的相关残差

真实过程满足

$x_n=\phi x_{n-1}+e_n$

白化器使用

$\widehat\phi$

时，输出为

$v_n=x_n-\widehat\phi x_{n-1}=e_n+(\phi-\widehat\phi)x_{n-1}.$

即使驱动 e_n 为白噪声，系数失配仍把有色过程的一部分泄漏到残差。

对稳定真实过程且驱动与过去独立，残差方差为

$\operatorname{var}(v_n)=\sigma_e^2+ (\phi-\widehat\phi)^2\frac{\sigma_e^2}{1-\phi^2}.$

方差增加是失配的一项证据，但单看方差不能完整判断白性；

相关结构也需要检查。若系数由同一短记录估计，残差与估计误差并不独立，固定系数公式应作为条件模型而非无条件有限样本结论。

03
物理含义

白化不意味着消除噪声，而是移除噪声的可预测相关结构。完全白化后的总功率仍等于驱动方差；错误系数不仅留下相关，也增加残差功率。

04
固定参数算例

对a为0.8的30000点序列比较正确系数与b为0.5的残差，检查逐样本恢复驱动的恒等式及失配残差方差闭式。数值脚本使用固定随机种子；随机实验的判据采用有限容差，代数关系的判据采用浮点残差。图中同时展示参数变化趋势与对应误差，关键数值写入独立结果文件。

固定参数数值验证结果

量	数值
样本数	30000
真实系数	0.8
mismatched coefficient	0.5
driver reconstruction error	4.4408920985e-16
correct residual variance	0.398072850419
mismatch residual variance	0.504744763847
mismatch theory variance	0.5

图 1　AR一阶预测误差白化的固定参数数值验证

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261091；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

SystemVerilog实现Q14系数乘上一样本并从当前样本减去的预测残差子核，同时输出残差平方。端口为16位有符号码，内部64位，同步复位，valid空拍保持状态；逐有效输入输出。自检覆盖多组数据、空拍、边界和复位，仅验证所述整数子核，不代表完整算法的硬件验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

用于相关噪声预处理、预测器诊断和后续统计模型的白性检查。系数应从独立或前段数据确定，以免训练残差显得过分理想。

07
工程上需要注意

真实噪声高于一阶时，一阶零点无法完全白化。

系数估计误差与同一记录相关会改变残差统计。

有限精度实现必须区分输入量化、内部舍入和最终结果格式，不能仅依据浮点曲线估计硬件误差。

白化由预测误差实现；参数精确时恢复驱动，参数失配时产生明确的额外方差和有色谱。

内容依据：每日精学第 172 课《AR一阶预测误差白化》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 172｜AR一阶预测误差白化

01模型与符号

02从模型到公式