每日精学 173｜标量随机游走的Kalman更新

2026-09-25

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标量Kalman更新把先验估计与新测量按不确定度融合，在随机游走模型中形成预测、创新和修正的闭环递推。

实际记录只包含有限个采样值。由记录计算得到的数值与总体参数并不相同：前者受记录长度、噪声、边界约定及运算精度影响，后者属于给定模型的属性。建立可复核结论需要先固定输入含义、统计假设和归一化方式，再比较可计算量与理论量。

01
模型与符号

抽象实标量状态；独立零均值过程噪声和测量噪声；方差Q非负、R严格为正；初始误差与噪声独立。

P_k⁻,P_k⁺：预测及更新误差方差（状态平方）

K_k：Kalman增益（无量纲）

ν_k：创新（状态）

02
从模型到公式

状态和测量

随机游走只把新的过程扰动加到原状态。

$x_k=x_{k-1}+w_k,\quad z_k=x_k+v_k,\quad\mathrm E w_k^2=Q,\ \mathrm E v_k^2=R$

先验传播

状态均值不变，误差方差增加过程噪声。

$\widehat x_k^-=\widehat x_{k-1}^+,\quad P_k^-=P_{k-1}^++Q$

创新构造

测量相对预测的差值是可用于修正的新信息。

$\nu_k=z_k-\widehat x_k^-,\quad S_k=P_k^-+R$

方差最小化

任意线性增益下误差为先验误差与测量噪声的组合。

最优增益

对二次方差求导并令零。

$K_k=\frac{P_k^-}{P_k^-+R},\quad\widehat x_k^+=\widehat x_k^-+K_k\nu_k$

后验方差

代入最优增益，得到乘积除以和。

$P_k^+=(1-K_k)P_k^-=\frac{P_k^-R}{P_k^-+R}$

更新增益的极限与凸组合

标量测量方差 R>0、先验方差 P⁻≥0 时，最优增益和后验均值满足

$K=\frac{P^-}{P^-+R},\qquad \widehat x^+=(1-K)\widehat x^-+Kz.$

因此 0≤ K<1，均值更新为先验与测量的凸组合。

可信测量对应 R 小，可信先验对应 P⁻ 小，两种情况分别使增益靠近一和零。对正方差还可写成信息形式

$\frac1{P^+}=\frac1{P^-}+\frac1R.$

信息相加依赖先验误差与当前测量噪声独立。

若同一测量已用于生成先验，再重复更新会错误增加信息；接口上的不同变量名并不能保证统计独立。

03
物理含义

增益不是经验平滑系数，而由预测与测量的不确定度决定。预测越不可靠越依赖测量；测量噪声越大越保留先验。全部变量只表示抽象数字序列，不涉及具体运动或操作方案。

04
固定参数算例

固定Q为0.02、R为0.5，仿真600步随机游走，比较原始测量与递推估计误差，并验证两种后验方差形式相等、增益在零一之间。数值脚本使用固定随机种子；随机实验的判据采用有限容差，代数关系的判据采用浮点残差。图中同时展示参数变化趋势与对应误差，关键数值写入独立结果文件。

固定参数数值验证结果

量	数值
样本数	600
过程噪声方差	0.02
测量噪声方差	0.5
raw measurement MSE	0.474237620079
filtered MSE	0.0817498213826
final posterior variance	0.0904987562112
covariance identity error	1.38777878078e-17

图 1　标量随机游走的Kalman更新的固定参数数值验证

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261092；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

SystemVerilog实现输入先验、测量及外部Q14增益后的创新和状态修正子核；增益除法及方差递推由软件完成。端口为16位有符号码，内部64位，同步复位，valid空拍保持状态；

逐有效输入输出。自检覆盖多组数据、空拍、边界和复位，仅验证所述整数子核，不代表完整算法的硬件验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

用于缓慢变化传感量的数字平滑、参数漂移估计及测量融合基础验证。Q与R应反映同一采样周期和同一状态单位。

07
工程上需要注意

错误Q与R会使报告方差与实际误差失配。

非线性或重尾误差不再满足精确高斯后验模型。

有限精度实现必须区分输入量化、内部舍入和最终结果格式，不能仅依据浮点曲线估计硬件误差。

随机游走Kalman更新是按方差确定权重的递推融合，其核心是对创新作自适应幅度修正。

内容依据：每日精学第 173 课《标量随机游走的Kalman更新》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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01模型与符号

02从模型到公式