每日精学 174｜Joseph协方差更新的非负结构

2026-09-25

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Joseph形式从估计误差传播直接构造后验协方差，即使增益因量化而偏离最优值，也保持正确的线性融合方差表达式。

实际记录只包含有限个采样值。由记录计算得到的数值与总体参数并不相同：前者受记录长度、噪声、边界约定及运算精度影响，后者属于给定模型的属性。建立可复核结论需要先固定输入含义、统计假设和归一化方式，再比较可计算量与理论量。

01
模型与符号

标量先验误差与测量噪声独立，方差均非负；增益可任意指定，不要求精确Kalman增益。

P⁻：先验方差（状态平方）

R：测量噪声方差（状态平方）

K：实际采用的增益（无量纲）

02
从模型到公式

误差修正

按真实所用增益推导误差，不提前代入最优关系。

平方期望

独立性使交叉项消失。

非负结构

每项都是非负方差乘平方，因此结果理论上不会为负。

$P^-,R\geq0\quad\Longrightarrow\quad P_J^+\geq0$

最优增益化简

只有精确满足最优关系时才能简化为单乘积。

$K_*=\frac{P^-}{P^-+R}\quad\Longrightarrow\quad P_J^+=(1-K_*)P^-$

增益偏差代价

围绕最优点完成平方，得到量化增益的额外误差。

$P_J^+(K)=\frac{P^-R}{P^-+R}+(P^-+R)(K-K_*)^2$

错误简化差值

任意增益直接使用简式时漏掉的项可以显式计算。

任意增益下的协方差平方项

在先验误差和测量噪声独立的标量模型中，任意增益 K 都有 Joseph 形式

将其配方得到

$P^+=\frac{P^-R}{P^-+R} +(P^-+R)\left(K-\frac{P^-}{P^-+R}\right)^2.$

第一项是最优增益下的最小方差，第二项是增益失配的非负代价。

若量化增益误差为 δ K，则

$\Delta P=(P^-+R)(\delta K)^2.$

这说明协方差不能在非最优增益下仍机械使用简化式 (1−K)P⁻。

非负平方结构有利于数值健壮性，但定点乘积溢出或把方差输入解释成有符号负值，仍会破坏该保证。

03
物理含义

Joseph形式保留了测量噪声注入通道与原误差残留通道。增益被舍入或主动限制时，这两条通道仍存在；继续使用只对精确最优点成立的简式可能低估误差。

04
固定参数算例

固定先验方差1.3和测量方差0.7，扫描增益并比较Joseph形式、完成平方表达式和简式，另以Q4量化增益做蒙特卡洛误差检验。数值脚本使用固定随机种子；

随机实验的判据采用有限容差，代数关系的判据采用浮点残差。图中同时展示参数变化趋势与对应误差，关键数值写入独立结果文件。

固定参数数值验证结果

量	数值
先验方差	1.3
测量噪声方差	0.7
最优增益	0.65
quantized gain Q4	0.625
joseph variance	0.45625
empirical variance	0.455372076219
completed square error	6.66133814775e-16
incorrect shortcut variance	0.4875

图 1　Joseph协方差更新的非负结构的固定参数数值验证

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261093；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

SystemVerilog实现Q14实际增益下的两个平方加权方差项及其和；前提为输入方差非负且中间乘积不溢出。端口为16位有符号码，内部64位，同步复位，valid空拍保持状态；

逐有效输入输出。自检覆盖多组数据、空拍、边界和复位，仅验证所述整数子核，不代表完整算法的硬件验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

用于定点递推估计、增益裁剪后的不确定度计算和协方差软件单元测试。矩阵扩展还应保持转置与对称结构。

07
工程上需要注意

有限精度仍可能溢出，平方结构不能替代位宽设计。

相关先验误差和测量噪声需要补充交叉协方差项。

有限精度实现必须区分输入量化、内部舍入和最终结果格式，不能仅依据浮点曲线估计硬件误差。

Joseph形式对实际增益有效，量化偏离最优点带来的方差损失为非负平方项。

内容依据：每日精学第 174 课《Joseph协方差更新的非负结构》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 174｜Joseph协方差更新的非负结构

01模型与符号

02从模型到公式