每日精学 176｜Kalman创新序列的白性

2026-09-25

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匹配线性高斯模型的Kalman创新与全部过去测量正交，因而不同时间的创新不相关，可用于检验递推模型是否充分解释时间结构。

实际记录只包含有限个采样值。由记录计算得到的数值与总体参数并不相同：前者受记录长度、噪声、边界约定及运算精度影响，后者属于给定模型的属性。建立可复核结论需要先固定输入含义、统计假设和归一化方式，再比较可计算量与理论量。

01
模型与符号

抽象标量随机游走、正确Q与R、线性高斯模型；初始估计与方差匹配；检验时舍去初始过渡段。

$\mathcal Z_{k-1}$ ：过去全部测量（信息集）

ν_k：当前创新（状态）

S_k：创新方差（状态平方）

02
从模型到公式

条件预测

最优预测是给定过去测量的条件均值。

$\widehat x_k^-=\mathrm E[x_k\mid\mathcal Z_{k-1}]$

创新定义

新测量减去基于旧信息的预测。

$\nu_k=z_k-\widehat x_k^-$

条件零均值

测量噪声独立零均值，故预测残差在过去信息条件下均值为零。

$\mathrm E[\nu_k\mid\mathcal Z_{k-1}]=0$

跨时正交

较早创新是过去测量的函数，可移到内层条件期望外。

$\mathrm E[\nu_k\nu_j]=\mathrm E\{\nu_j\mathrm E[\nu_k\mid\mathcal Z_{k-1}]\}=0,\quad j<k$

创新方差

预测误差与新测量噪声独立。

标准化创新

标准化后理论方差为一，便于比较不同时刻。

$\eta_k=\frac{\nu_k}{\sqrt{S_k}},\quad\mathrm E\eta_k=0,\quad\mathrm E\eta_k\eta_j=\delta_{kj}$

创新正交性与模型检验的边界

正确线性高斯模型下，预测均值是给定过去观测的条件均值，创新

$\nu_k=z_k-\mathrm E[z_k\mid\mathcal Z_{k-1}]$

因而满足

$\mathrm E[\nu_k\mid\mathcal Z_{k-1}]=0.$

任何较早创新均由过去观测确定，应用条件期望可得

$\mathrm E[\nu_k\nu_j]=0,\qquad j<k.$

这给出创新白性的来源，而不是把白性作为更新公式的纯代数结果。

有限记录的样本相关不会严格为零，零相关也不足以排除所有非高斯依赖。检验异常可能来自动力学失配、噪声方差失配或离群观测，需要结合创新均值、方差和相关结构共同解释。

03
物理含义

白性说明过去样本不再提供线性可预测结构，而不是创新应当每次接近零。即使估计正确，单位方差的标准化创新也会持续波动。白性与正确方差是不同条件，应同时检查。

04
固定参数算例

用12000步随机游走检查匹配Q与错误过小Q两种滤波器的标准化创新滞后相关；验证匹配模型的方差接近一及一至十阶相关较小。数值脚本使用固定随机种子；随机实验的判据采用有限容差，代数关系的判据采用浮点残差。图中同时展示参数变化趋势与对应误差，关键数值写入独立结果文件。

固定参数数值验证结果

量	数值
样本数	12000
discarded transient	300
matched innovation variance	1.00112259436
mismatched innovation variance	1.54217145879
matched lag1 correlation	-0.0143315729605
mismatched lag1 correlation	0.326068932722
max matched nonzero corr	0.0143315729605

图 1　Kalman创新序列的白性的固定参数数值验证

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261095；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

SystemVerilog实现测量减先验所得创新、创新平方和外部上一创新的乘积子核；标准化和相关汇总由软件完成。端口为16位有符号码，内部64位，同步复位，valid空拍保持状态；

逐有效输入输出。自检覆盖多组数据、空拍、边界和复位，仅验证所述整数子核，不代表完整算法的硬件验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

用于递推模型诊断、噪声协方差标定和残余趋势检查。检验窗口应足够长，并避免把单次随机超界误判为模型失效。

07
工程上需要注意

参数在线拟合会使创新与过去信息关系更加复杂。

非高斯不相关创新不一定彼此独立。

有限精度实现必须区分输入量化、内部舍入和最终结果格式，不能仅依据浮点曲线估计硬件误差。

匹配模型创新的白性来自条件均值的正交原理，标准化方差与滞后相关提供互补诊断。

内容依据：每日精学第 176 课《Kalman创新序列的白性》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 176｜Kalman创新序列的白性

01模型与符号

02从模型到公式