每日精学 177｜归一化创新平方统计量

2026-09-25

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归一化创新平方用预测创新方差去除量纲，匹配标量高斯模型下服从一个自由度的卡方分布。

实际记录只包含有限个采样值。由记录计算得到的数值与总体参数并不相同：前者受记录长度、噪声、边界约定及运算精度影响，后者属于给定模型的属性。建立可复核结论需要先固定输入含义、统计假设和归一化方式，再比较可计算量与理论量。

01
模型与符号

标量创新为零均值高斯，真实方差S严格为正且已知；批量汇总时创新独立。

ν：创新（状态）

S：创新方差（状态平方）

ϵ：归一化创新平方（无量纲）

02
从模型到公式

标准化变量

创新除以其标准差得到标准正态。

$Z=\nu/\sqrt S\sim\mathcal N(0,1)$

平方统计量

一个标准正态的平方定义一个自由度卡方。

$\epsilon=\nu^2/S=Z^2\sim\chi_1^2$

矩与方差

利用高斯二阶与四阶矩。

$\mathrm E\epsilon=1,\quad\operatorname{var}(\epsilon)=\mathrm E Z^4-1=2$

尾概率

平方超界等于标准正态的双尾事件。

$\Pr(\epsilon>\gamma)=2Q(\sqrt\gamma)$

多次平均

独立创新平方和增加自由度。

$\sum_{k=1}^{L}\epsilon_k\sim\chi_L^2,\quad\operatorname{var}\!\left(\frac1L\sum_k\epsilon_k\right)=\frac2L$

方差失配

采用错误方差将整体均值按比例缩放。

$\mathrm E\left[\frac{\nu^2}{S_{\mathrm{assumed}}}\right]=\frac{S_{\mathrm{true}}}{S_{\mathrm{assumed}}}$

多次创新统计量的累积

若标量归一化创新

$u_k=\nu_k/\sqrt{S_k}$

独立且服从标准正态，则单次平方为一自由度卡方变量。对 M 次独立创新求和，有

$T=\sum_{k=1}^{M}\frac{\nu_k^2}{S_k}\sim\chi_M^2, \quad \mathrm E[T]=M,\quad\operatorname{var}(T)=2M.$

因此平均归一化创新平方满足

$\mathrm E[T/M]=1,\qquad\operatorname{var}(T/M)=2/M.$

单次值远离一并不立即表示模型错误；

一是均值，不是每次必须达到的目标。若创新时间相关，和的分布不再简单为上述卡方分布。用同一记录调参再检验也会改变名义置信度，阈值必须与实际统计过程相匹配。

03
物理含义

单次统计量的方差为二，所以偶尔的大值并非异常的充分证据。长窗口平均偏离一提示方差尺度失配，但不能单独区分偏置、重尾噪声或时间相关。

04
固定参数算例

以S为2.5生成50000个高斯创新，核对均值、方差及门限3.8414588对应的约百分之五尾率，另用半倍假设方差展示均值翻倍。数值脚本使用固定随机种子；

随机实验的判据采用有限容差，代数关系的判据采用浮点残差。图中同时展示参数变化趋势与对应误差，关键数值写入独立结果文件。

固定参数数值验证结果

量	数值
innovation count	50000
true innovation variance	2.5
mean NIS	0.993797625888
variance NIS	1.99309590292
threshold	3.8414588
observed tail probability	0.04876
theory tail probability	0.0500000006171
fifty sample mean variance	0.0386397879172

图 1　归一化创新平方统计量的固定参数数值验证

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261096；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

SystemVerilog实现创新差值平方、输入方差及门限乘方差的无除法比较量；浮点卡方标定不在硬件子核内。端口为16位有符号码，内部64位，同步复位，valid空拍保持状态；

逐有效输入输出。自检覆盖多组数据、空拍、边界和复位，仅验证所述整数子核，不代表完整算法的硬件验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

用于抽象递推测量模型的一致性诊断和数值仿真误差标定。门限必须与维数、检验次数及独立性假设一致。

07
工程上需要注意

多维创新需要完整协方差逆，不能逐分量相除后忽略相关。

独立性不成立时批量卡方自由度需要重新评估。

有限精度实现必须区分输入量化、内部舍入和最终结果格式，不能仅依据浮点曲线估计硬件误差。

归一化创新平方把误差转换为有明确参考分布的无量纲统计量，但单次超界与模型失效不能等同。

内容依据：每日精学第 177 课《归一化创新平方统计量》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 177｜归一化创新平方统计量

01模型与符号

02从模型到公式