每日精学 178｜α-β滤波误差递推与稳定域

2026-09-25

← 技术专题 · 每日精学目录

雷达 · 通信 · 电子战　/　基础精学 178

固定增益α-β滤波可视作二阶数字估计递推，其无噪声误差稳定性由更新矩阵的两个极点决定。

实际记录只包含有限个采样值。由记录计算得到的数值与总体参数并不相同：前者受记录长度、噪声、边界约定及运算精度影响，后者属于给定模型的属性。建立可复核结论需要先固定输入含义、统计假设和归一化方式，再比较可计算量与理论量。

01
模型与符号

仅考虑抽象值及其每采样增量的二维线性序列；采样周期归一化为一；固定实增益；稳定性不包含噪声最优性。

α,β：位置式状态与增量修正增益（无量纲）

A_e：后验误差传播矩阵（无量纲）

λ：离散极点（无量纲）

02
从模型到公式

预测模型

抽象值按上次增量外推一个采样间隔。

$\widehat p_k^-=\widehat p_{k-1}+\widehat v_{k-1},\quad\widehat v_k^-=\widehat v_{k-1}$

固定增益修正

同一测量残差分别修正值与增量。

$r_k=z_k-\widehat p_k^-,\quad\widehat p_k=\widehat p_k^-+\alpha r_k,\quad\widehat v_k=\widehat v_k^-+\beta r_k$

误差矩阵

无外部扰动时，后验误差先经预测矩阵传播，再由更新误差矩阵左乘。

$A_e=\begin{bmatrix}1-\alpha&1-\alpha\\-\beta&1-\beta\end{bmatrix}$

特征多项式

迹和行列式决定两个极点。

$p(\lambda)=\lambda^2-(2-\alpha-\beta)\lambda+(1-\alpha)$

Jury条件

实系数二阶首一多项式稳定条件分别约束常数项及正负一处取值。

$|1-\alpha|<1,\quad p(1)=\beta>0,\quad p(-1)=4-2\alpha-\beta>0$

稳定域

合并三条严格不等式。

$0<\alpha<2,\quad0<\beta<4-2\alpha$

闭环极点与阻尼的直接联系

按采样间隔归一化后的误差状态矩阵，其迹与行列式分别为 2−α−β 和 1−α。特征方程为

$\lambda^2-(2-\alpha-\beta)\lambda+(1-\alpha)=0.$

严格 Jury 条件化为 α>0、β>0、2α+β<4。

当判别式小于零时两根共轭，模长由行列式确定：

$|\lambda|=\sqrt{1-\alpha}.$

该表达式只在共轭根区域使用，不可扩展到整个稳定域。

实际子核的

$\alpha=1/2,\beta=1/8$

位于该区域，极点模为

$1/\sqrt2$

定点截断会引入有界驱动误差，但不改变精确线性模型的极点定义。

03
物理含义

稳定意味着初始估计误差在无噪声模型中衰减，不意味着任意稳定增益都具有良好的噪声抑制。极点靠近单位圆会收敛缓慢，靠近负实轴则可能出现交替振荡。

04
固定参数算例

比较增益(0.5,0.125)与越界增益(1.5,1.2)的极点及误差递推，扫描二维网格核对Jury不等式与数值极点判据。数值脚本使用固定随机种子；随机实验的判据采用有限容差，代数关系的判据采用浮点残差。图中同时展示参数变化趋势与对应误差，关键数值写入独立结果文件。

固定参数数值验证结果

量	数值
stable alpha	0.5
stable beta	0.125
stable spectral radius	0.707106781187
unstable spectral radius	1.1389866919
stable final error norm	1.54226974199e-11
网格点数	1800
Jury eigenvalue mismatches	0
exact boundary grid points	1
boundary radius error	8.881784197e-15

图 1　α-β滤波误差递推与稳定域的固定参数数值验证

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261097；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

SystemVerilog实现采样周期为一、α为二分之一、β为八分之一的值及增量更新子核；参数为固定移位实现。端口为16位有符号码，内部64位，同步复位，valid空拍保持状态；

逐有效输入输出。自检覆盖多组数据、空拍、边界和复位，仅验证所述整数子核，不代表完整算法的硬件验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

用于数字平滑递推结构的稳定性单元测试和固定增益系统设计基础。状态仅为抽象数字量，不涉及具体目标或操作应用。

07
工程上需要注意

严格边界上的单位圆极点不满足渐近稳定。

遗漏过程扰动和非恒定增量会产生稳态偏差。

有限精度实现必须区分输入量化、内部舍入和最终结果格式，不能仅依据浮点曲线估计硬件误差。

二阶误差矩阵给出α-β滤波的精确无噪声稳定域，稳定性与统计最优性是两个不同问题。

内容依据：每日精学第 178 课《α-β滤波误差递推与稳定域》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

阅读7

写评论...

每日精学 178｜α-β滤波误差递推与稳定域

01模型与符号

02从模型到公式