每日精学 179｜缺失测量下的协方差增长
雷达 · 通信 · 电子战 / 基础精学 179
测量缺失时递推估计只能预测，随机游走误差方差每步增加过程噪声；新测量到来后不确定度按融合关系下降。
实际记录只包含有限个采样值。由记录计算得到的数值与总体参数并不相同：前者受记录长度、噪声、边界约定及运算精度影响，后者属于给定模型的属性。建立可复核结论需要先固定输入含义、统计假设和归一化方式，再比较可计算量与理论量。
01
模型与符号
抽象标量随机游走，Q非负、R为正；缺失机制与状态和噪声独立；缺失期间不伪造观测。
m：连续缺失步数（采样间隔）
P0：缺失前后验方差（状态平方）
Pm−：缺失后预测方差（状态平方）
02
从模型到公式
单步预测
没有观测更新时只有过程噪声能量注入。
缺失处理
缺失不是零测量，应保留预测均值和方差。
连续缺失
对预测式连续应用m次。
标准差增长
方差线性增长而标准差按平方根增长。
恢复测量增益
缺失越久，预测越不确定，恢复时的增益越大。
恢复后方差
融合后的方差低于测量方差。
连续缺测次数与不确定性增长
标量随机游走在缺测时只有预测，没有测量校正。连续缺失 m 次且过程噪声方差固定为 Q 时，递推直接相加得到
测量恢复后，其增益为
缺测越久，先验越不确定，恢复时对新测量的权重通常越高。
这里的线性增长依赖随机游走状态系数为一；一般标量系数 a 会使预测项按 a2m 传播。用“零值测量”替代缺测会错误执行一次校正，既拉动均值也缩小方差，与跳过测量更新并不等价。
03
物理含义
没有新测量不等于没有新的误差来源。把旧测量反复当作独立新测量会虚假降低方差，而正确缺失处理应使不确定度持续增加。
04
固定参数算例
从P0为0.2、Q为0.03起对0至100步缺失计算方差与恢复增益，用10000条独立随机游走核对末端预测误差方差。数值脚本使用固定随机种子；随机实验的判据采用有限容差，代数关系的判据采用浮点残差。图中同时展示参数变化趋势与对应误差，关键数值写入独立结果文件。
| 量 | 数值 |
|---|---|
| 初始方差 | 0.2 |
| process variance per step | 0.03 |
| missing step count | 100 |
| predicted final variance | 3.2 |
| empirical final variance | 3.18600983562 |
| recovery gain | 0.864864864865 |
| recovery posterior variance | 0.432432432432 |
| linear growth identity error | 2.49800180541e-16 |
图 1 缺失测量下的协方差增长的固定参数数值验证
表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261098；运行版本与完整结果另存为独立文件。
05
数字实现的边界
SystemVerilog实现非负输入方差与过程方差相加的预测子核，同时输出恢复所需的方差和分母；测量调度在外部。端口为16位有符号码，内部64位，同步复位，valid空拍保持状态；
逐有效输入输出。自检覆盖多组数据、空拍、边界和复位，仅验证所述整数子核，不代表完整算法的硬件验证。
独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。
06
适用范围
用于数字遥测数据缺包、间歇测量和离线序列空值处理。软件接口应明确缺失标志，避免以零值代替缺失。
07
工程上需要注意
状态相关缺失会改变条件分布，简单传播可能不再适用。
更高阶状态模型的协方差增长一般不是线性。
有限精度实现必须区分输入量化、内部舍入和最终结果格式，不能仅依据浮点曲线估计硬件误差。
随机游走在连续缺失期间的方差按P0加mQ增长，新测量到来时应使用更新后的不确定度融合。
内容依据：每日精学第 179 课《缺失测量下的协方差增长》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。