每日精学 183｜BPSK精确对数似然比

2026-09-25

雷达 · 通信 · 电子战　/　基础精学 183

硬判决仅输出零或一，无法区分靠近门限与远离门限的样本。编码接收机需要一种可相加且具有概率解释的可靠度表示。对数似然比通过两个条件密度的比值消除共同归一化因子，为后续软合并提供统一量纲。

01
模型与符号

映射固定为 $b=0\mapsto+A$ 、 $b=1\mapsto-A$ ；A>0 已知， $n\sim\mathcal N(0,\sigma^2)$ ，实噪声方差为 σ²；先验暂取相等。

b：发送比特（比特）

A：符号幅度（幅度）

y：接收实样本（幅度）

σ²：实噪声方差（幅度平方）

L：零比一的对数似然比（无量纲）

02
从模型到公式

条件密度

接收模型为

因而

$p(y\mid b)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\!\left[-\frac{(y-A(1-2b))^2}{2\sigma^2}\right].$

两个密度的方差相同，是线性结果成立的关键。

消去公共项

按零比一约定定义

$L(y)=\ln\frac{p(y\mid0)}{p(y\mid1)}=\frac{(y+A)^2-(y-A)^2}{2\sigma^2}.$

展开平方得到 4Ay，所以

$L(y)=\frac{2A}{\sigma^2}y.$

正值支持零，负值支持一；

L=0 表示两种解释等可能。

概率与标定

等先验条件下

$P(b=0\mid y)=\frac{1}{1+e^{-L(y)}}.$

条件均值和方差分别为

$E[L\mid b=0]=\frac{2A^2}{\sigma^2},\qquad \operatorname{var}(L\mid b)=\frac{4A^2}{\sigma^2}.$

两者关系可用于检查软信息是否被错误缩放。

软值标定误差与概率敏感度

硬判决只使用软值的符号，概率接口却使用其完整尺度。设正确软值为 L，因噪声方差标定失配得到 $\widetilde L=cL$ ，其中 c>0。

两者硬判决相同，但零比特后验的对数几率分别为 L 与 cL，不是同一个概率模型。逻辑函数 p(L) 满足

$p'(L)=p(L)[1-p(L)]\le\frac14, \qquad |p(L+\delta)-p(L)|\le\frac{|\delta|}{4}.$

因而定点软值的绝对误差能够给出概率误差上界，但不能据此保证后续多个软值相加后的判决不变。

在固定 A=1,σ²=1/2 的整数子核中，若输入码表示 y=aΔ_y，则

$L=4a\Delta_y,\qquad q_L=4a,\qquad \Delta_L=\Delta_y.$

输出码乘四与输出量化步长缩小四倍是不同的接口选择，不能同时实施；

否则会把物理软值错误地缩放。输入范围内整数左移是精确代数运算，但接收幅度量化和噪声方差估计仍在该子核之外。

03
物理含义

样本符号决定倾向，绝对值则刻画证据强度。提高噪声方差使同一接收幅度产生较小软值，反映观测更不可信；这并不等同于改变硬判决门限。软值必须与译码器采用同一零比一约定。

04
固定参数算例

固定幅度一和实噪声方差二分之一，比较条件密度直接相除与线性闭式表达式，检查对称性和条件均值。图中同时给出接收样本至软值的映射和对应后验概率，随机统计仅用于尺度复验，闭式等式使用严格误差界。

固定参数数值验证结果

量	数值
amplitude	1
噪声方差	0.5
density formula max error	5.3290705182e-15
conditional mean theory	4
conditional mean measured	3.98831969688
conditional variance measured	8.0402322123
样本数	100000

图 1　BPSK软值线性映射与后验概率

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261102；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

RTL 实现固定参数 A=1、实噪声方差为 1/2 时的 L=4y，输入与输出同一整数幅度刻度；限制输入绝对值不超过 1024，左移运算在 32 位中无溢出。

模块采用同步高有效复位及 valid 握手；有效输入在一个时钟沿登记输出，空拍不改变数据寄存器而清除输出有效标志。端口采用有符号 32 位容器，实际有效范围按子核定义约束。

自检覆盖多组有效输入、空拍保持及复位；它验证指定算术或地址子核，不代表完整通信系统或完整译码器已经完成硬件验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

该表达式适用于相干 BPSK 解调、二进制编码器软输入构造及噪声方差标定。对实部独立的 QPSK 分量也可分别使用，但幅度与每实维噪声方差必须重新确认。

07
工程上需要注意

幅度估计错误造成软值整体尺度偏差。

脉冲干扰或非高斯噪声下线性似然不再精确。

未知相位须先估计或在似然中边缘化。

有限位宽可能把强证据饱和，不能把饱和值解释为确定概率。

BPSK 精确软值由高斯条件密度的平方差直接化为线性映射。符号约定及每实维噪声方差共同决定尺度，概率恢复必须保持相同定义。

内容依据：每日精学第 183 课《BPSK精确对数似然比》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 183｜BPSK精确对数似然比

01模型与符号

02从模型到公式

条件密度

消去公共项

概率与标定

软值标定误差与概率敏感度

03物理含义

04固定参数算例

05数字实现的边界

06适用范围