每日精学 184｜先验概率与后验对数比

2026-09-25

雷达 · 通信 · 电子战　/　基础精学 184

软解调中的似然只描述观测怎样依赖比特，并不自动包含源比特的统计比例。若零与一出现概率不同，直接把似然零点作为判决门限会忽略可用信息。

01
模型与符号

0<π=P(b=0)<1；条件噪声为已知方差高斯分布，先验不依赖当前噪声样本，采用零比一软值约定。

π：零比特先验（概率）

L_a：先验对数比（无量纲）

L_c：信道似然（无量纲）

L_p：后验对数比（无量纲）

y₀：MAP门限（幅度）

02
从模型到公式

贝叶斯比值

贝叶斯公式为

$P(b\mid y)=\frac{p(y\mid b)P(b)}{p(y)}.$

对两个比特取比值，公共证据密度消去，得到

$\frac{P(0\mid y)}{P(1\mid y)}=\frac{p(y\mid0)}{p(y\mid1)}\frac{\pi}{1-\pi}.$

加法结构

定义

$L_a=\ln\frac{\pi}{1-\pi},\quad L_c=\ln\frac{p(y\mid0)}{p(y\mid1)}.$

取自然对数后

先验为二分之一时 L_a=0，恢复等先验情形；

先验趋近端点时偏置发散，有限硬件只能近似。

后验判决

最小比特错误率判决为

$\widehat b=\mathbf1\{L_p<0\}.$

对 BPSK，令

$2Ay_0/\sigma^2+L_a=0$

得到

$y_0=-\frac{\sigma^2}{2A}\ln\frac{\pi}{1-\pi}.$

偏置只在对数域加一次，重复加入同一先验将造成过度自信。

先验偏置与非对称判决代价

后验最大概率判决默认两种错误代价相同。若把一误判为零的代价为 C₀₁，把零误判为一的代价为 C₁₀，则选择零需满足

$C_{01}P(1\mid y)\le C_{10}P(0\mid y), \qquad L_p\ge\ln(C_{01}/C_{10}).$

因此先验概率进入后验，而损失函数进入决策门限，两者可以在对数域合并成偏置，但含义不同。

对 BPSK 的观测门限为

$y_0=\frac{\sigma^2}{2A} \left[\ln(C_{01}/C_{10})-\ln\frac{\pi}{1-\pi}\right].$

更改代价不能冒充更改源概率；

概率输出仍应保持真实后验标定。该关系也说明纯加法子核只能验证偏置组合，不能证明外部提供的先验或代价值正确。

03
物理含义

先验支持零时，负幅度样本也可能被判为零，因为有限负证据尚不足以推翻先验优势。门限移动来自风险最小化，而不是接收直流偏置；两者在数值上相似但物理来源不同。

04
固定参数算例

固定先验为四分之三，在一组实样本上分别通过贝叶斯密度归一化和对数域加法求后验，检查最大差及门限处后验二分之一。另比较多种先验对应的门限移动。

固定参数数值验证结果

量	数值
prior probability zero	0.75
prior llr	1.09861228867
噪声方差	0.5
map threshold	-0.274653072167
posterior identity error	2.22044604925e-16
threshold posterior	0.5
网格点数	401

图 1　先验变化导致的后验曲线与MAP门限移动

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261103；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

RTL 实现两个已量化对数比的加法，输入均以 1/256 为一单位，输出保留该刻度；使用 32 位输出且限制有效输入绝对值不超过 8192；先验对数函数的计算属于离线参数配置，不在模块内。

模块采用同步高有效复位及 valid 握手；有效输入在一个时钟沿登记输出，空拍不改变数据寄存器而清除输出有效标志。端口采用有符号 32 位容器，实际有效范围按子核定义约束。

自检覆盖多组有效输入、空拍保持及复位；它验证指定算术或地址子核，不代表完整通信系统或完整译码器已经完成硬件验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

可用于非均匀源比特接收和迭代接收机先验接口。若软值来自另一处理环节，必须确认其是否已经含有当前信道证据，以防同一观测被重复计数。

07
工程上需要注意

真实先验漂移会引入系统偏差。

先验端点需要有限饱和表示。

非对称错误代价会引入额外决策偏置。

相关先验不能无条件逐比特独立处理。

贝叶斯后验在对数域分解为信道证据与先验偏置。可加结构简化了实现，但其成立依赖概率约定一致且没有重复使用证据。

内容依据：每日精学第 184 课《先验概率与后验对数比》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 184｜先验概率与后验对数比

01模型与符号

02从模型到公式

贝叶斯比值

加法结构

后验判决

先验偏置与非对称判决代价

03物理含义

04固定参数算例

05数字实现的边界

06适用范围