每日精学 185｜独立观测的对数似然合并

2026-09-25

雷达 · 通信 · 电子战　/　基础精学 185

重复观测、分支接收及多次采样常提供关于同一比特的多份证据。直接相加原始样本只有在增益和噪声方差一致时才合理，对数似然域可把这些差异显式包含在权重中。

01
模型与符号

观测满足 y_k=A_k(1−2b)+n_k，各 n_k 在给定 b 后独立，方差 σ_k² 已知，所有分支已相位对齐。

K：观测数（路）

A_k：第k路增益（幅度）

L_k：单路似然（无量纲）

L_Σ：联合似然（无量纲）

γ：合并信噪比（无量纲）

02
从模型到公式

联合密度分解

条件独立给出

$p(\boldsymbol y\mid b)=\prod_{k=1}^{K}p(y_k\mid b).$

因而

$L_\Sigma=\ln\prod_{k=1}^{K}\frac{p(y_k\mid0)}{p(y_k\mid1)}=\sum_{k=1}^{K}L_k.$

条件独立是乘积分解的前提，不能由边缘不相关代替。

高斯权重

每路高斯似然为

$L_k=\frac{2A_k}{\sigma_k^2}y_k.$

合并统计量因此满足

$E[L_\Sigma\mid0]=2\sum_k\frac{A_k^2}{\sigma_k^2}=2\gamma,\qquad \operatorname{var}(L_\Sigma\mid0)=4\gamma.$

小噪声分支具有较大权重。

错误概率与先验

等先验下零符号错误概率为

$P_e=P(L_\Sigma<0\mid0)=Q(\sqrt\gamma).$

非等先验时使用

$L_p=L_a+\sum_kL_k.$

若先把先验加到每一分支再求和，会错误地得到 KL_a。

共同噪声造成的重复置信

两路相同幅度和方差的高斯观测若噪声相关系数为 ρ，协方差并非对角阵。直接用联合密度计算得到

$L=\frac{2A}{\sigma^2(1+\rho)}(y_1+y_2),\qquad -1<\rho<1.$

相对于独立模型简单求和，正相关时需要减小整体尺度。

合并信噪比相应为

$\gamma=\frac{2A^2}{\sigma^2(1+\rho)}.$

当 ρ 接近一，两路几乎提供同一份噪声污染观测，收益接近单路而不是独立两路。

把已经使用过的同一软值复制到另一个输入端口，算术上可以正确相加，统计上却不产生新的独立信息。

03
物理含义

证据求和允许两个弱但方向一致的观测形成强可靠度，也允许相反观测互相抵消。可靠度差异意味着一个高质量分支可以合理地超过多个低质量分支，而不是采用简单多数票。

04
固定参数算例

固定两路幅度和不同噪声方差，验证联合密度直接计算与软值之和一致。通过大量固定种子样本比较单路及合并错误率，并将统计结果与 Q 函数闭式表达式对照。

固定参数数值验证结果

量	数值
样本数	150000
combined snr	1.27222222222
joint llr max error	3.5527136788e-15
branch1 error rate	0.159346666667
branch2 error rate	0.300486666667
combined error rate	0.129453333333
combined error theory	0.12967510308
ber standard error	0.000867407903742

图 1　两路软信息联合与理论误码率比较

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261104；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

RTL 实现两路已标定 Q8 对数似然比相加，输入软值绝对值限制为 8192 个整数单位；宽输出避免相加溢出。模块不估计分支增益或噪声方差。模块采用同步高有效复位及 valid 握手；

有效输入在一个时钟沿登记输出，空拍不改变数据寄存器而清除输出有效标志。端口采用有符号 32 位容器，实际有效范围按子核定义约束。自检覆盖多组有效输入、空拍保持及复位；

它验证指定算术或地址子核，不代表完整通信系统或完整译码器已经完成硬件验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

该合并可用于重复传输实验、独立传感分支的二元观测融合及软输入缓存。分支标定应在合并前完成，饱和策略应尽量放在宽位累加之后。

07
工程上需要注意

共同干扰产生条件相关，简单求和会高估信息。

相位符号错误可使好分支贡献反向证据。

各分支噪声尺度失配改变最优权重。

重复发送增加能量和资源，性能比较需明确归一化条件。

独立观测的联合似然在对数域严格可加。合并收益来自可靠度加权和，成立边界是正确的条件独立模型与一致尺度。

内容依据：每日精学第 185 课《独立观测的对数似然合并》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 185｜独立观测的对数似然合并

01模型与符号

02从模型到公式

联合密度分解

高斯权重

错误概率与先验

共同噪声造成的重复置信

03物理含义

04固定参数算例

05数字实现的边界

06适用范围