每日精学 188｜Jacobian对数的稳定求和修正
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软解调和概率递推反复计算对数域概率之和。直接先指数化再求和会在极端幅度下溢出或下溢，稳定分解可把动态范围问题转换为短区间单变量函数逼近。
01
模型与符号
a,b 为有限实数，使用自然对数；求和对应互斥路径的概率相加，不能与独立证据的对数直接相加混淆。
m：两输入最大值（无量纲）
d：输入差绝对值（无量纲）
g(d)：Jacobian修正（无量纲）
J：稳定对数和（无量纲）
q：查表步长（无量纲）
02
从模型到公式
因式分解
令 m=max(a,b)，则
其中一个括号项等于一，另一项等于 e−|a−b|，故
修正性质
定义
有
因而最大值近似低估对数和，最大低估量为对数二。
有限表与多项求和
整数差值查表并以 2−8 为输出步长，最近舍入误差满足
对多项概率可递归应用
实数运算结果不依赖归约顺序；
有限精度下误差会随顺序和层数改变。
查表截断尾部的严格界
Jacobian 修正 g(d)=ln(1+e−d) 满足 ln(1+x)≤ x，所以
若超过阈值 D 后把修正置零，尾部绝对误差不超过 e−D。
表内采用输出步长 q 的最近舍入时，逐点误差至多 q/2，于是分区实现可用
作统一上界。
该界不包含输入差值网格化的误差；小数输入若先舍入到整数地址，还应利用 |g'(d)|≤1/2 另计插值或地址量化项。表长、地址步长和输出位宽是三种不同精度选择。
03
物理含义
最大项负责主导概率的尺度，修正项负责其余候选贡献。两个候选相等时修正最大；差值很大时次强项几乎无贡献。该结构允许将精度资源集中在接近相等的输入区域。
04
固定参数算例
在固定整数与密集实数网格上比较直接公式和稳定公式，测试同时平移输入时输出等量平移的性质。查表覆盖差值零至十六，并验证 Q8 最近舍入的半LSB误差界。
| 量 | 数值 |
|---|---|
| integer pairs | 289 |
| stable identity error | 8.881784197e-16 |
| q8 max error | 0.00192801104297 |
| q8 half lsb | 0.001953125 |
| correction at equal | 0.69314718056 |
| correction at diff16 | 1.12535168387e-07 |
| translation offset | 37 |
图 1 Jacobian修正函数及Q8查表误差
表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261107；运行版本与完整结果另存为独立文件。
05
数字实现的边界
RTL 输入 a、b 为整数对数值，范围正负八，查表保存 g(0) 至 g(16) 的 Q8 最近舍入值，输出 J 的 Q8 值。查表为组合常数 ROM，可综合；
只对声明的整数网格保证逼近误差。 模块采用同步高有效复位及 valid 握手；有效输入在一个时钟沿登记输出，空拍不改变数据寄存器而清除输出有效标志。端口采用有符号 32 位容器，实际有效范围按子核定义约束。
自检覆盖多组有效输入、空拍保持及复位；它验证指定算术或地址子核，不代表完整通信系统或完整译码器已经完成硬件验证。
独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。
06
适用范围
可用于软解调指数和、对数域递推、路径概率归并及一般概率模型的稳定实现。多路归约可以串行或树形排列，需要同时考虑临界路径及误差累积。
07
工程上需要注意
整数网格查表不包含任意小数输入插值。
最大值近似的误差可能在多级递推中累积。
自然对数和二进制对数不可混用。
极小概率在有限宽度中仍可能被裁剪。
Jacobian 恒等式以最大值和有界差值修正实现稳定概率求和。硬件近似可明确量化到查表范围、输出步长和归约深度。
内容依据：每日精学第 188 课《Jacobian对数的稳定求和修正》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。