每日精学 192｜实高斯信道的功率约束容量

2026-09-25

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离散信道的信息尺度需要推广到连续接收样本。输出与噪声的微分熵之差消除单位尺度依赖，并把功率约束转化为可可靠传输的信息率上限。

01
模型与符号

Y=X+N，N\sim\mathcal N(0,\sigma^2) 独立于输入，E[X2]≤ P；每次使用为一个实维，未施加峰值或有限星座约束。

P：平均输入功率（幅度平方）

σ2：噪声方差（幅度平方）

ρ：每实维信噪比（无量纲）

h：微分熵（bit）

C：实维容量（bit/实次）

02
从模型到公式

条件熵

加性独立噪声满足

h(Y\mid X)=h(N)=\frac12\log_2(2\pi e\sigma^2).

因而

I(X;Y)=h(Y)-h(N).

平移不改变微分熵，故条件噪声熵与具体输入值无关。

熵上界与取等

输出方差不超过 P+σ2，固定方差下高斯熵最大，所以

h(Y)\le\frac12\log_2(2\pi e(P+\sigma^2)).

取独立

X\sim\mathcal N(0,P)

时输出亦为高斯并达到上界，从而

C=\frac12\log_2(1+\rho),\quad \rho=P/\sigma^2.

尺度和渐近

低信噪比下

C=\frac{\rho}{2\ln2}+O(\rho^2).

高信噪比下

C=\tfrac12\log_2\rho+o(1).

每个复维包含两个独立实维，因此在一致功率定义下具有两倍实维自由度，不能无条件漏掉二分之一因子。

功率平均与对数凹性

容量随信噪比增加但边际增益递减，因为

C'(\rho)=\frac1{2\ln2(1+\rho)},\qquad C''(\rho)=-\frac1{2\ln2(1+\rho)^2}<0.

在相同噪声的独立实信道使用中，若两次分配的平均信噪比固定，由凹性得到

\frac{C(\rho_1)+C(\rho_2)}2\le C\left(\frac{\rho_1+\rho_2}2\right).

这说明在这些约束下，仅把功率集中到部分等质使用并不能提高平均容量。

结论不包含峰值约束、不同噪声子信道或输入星座限制；有这些条件时，最优分布和归一化方式需要重新确定。每实维二分之一系数也不能与复信道每次使用的定义混用。


03
物理含义

容量以平均功率换取可区分的接收分布，随信噪比按对数而非线性增长。高斯输入是无限连续星座模型，现实有限星座的互信息会受到标签数量上限约束。

04
固定参数算例

固定信噪比网格，直接由高斯输入输出密度比的样本平均估计互信息，与闭式容量对照；同时检查零信噪比及低信噪比一阶斜率。查表实验覆盖四分之一间隔的有限信噪比点。

固定参数数值验证结果
量数值
样本数150000
snr validation2
capacity closed form0.792481250361
density mean estimate0.795692530772
density mean standard error0.0030418746686
low snr slope0.721347159712
q12 max error0.000121937804454
图 1：实AWGN容量曲线与密度比数值验证图 1：实AWGN容量曲线与密度比数值验证

图 1　实AWGN容量曲线与密度比数值验证

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261111；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

RTL 输入 a 对应四分之 a 的信噪比，a 在零至十六之间，ROM 输出容量 Q12 最近舍入值。该硬件仅是离散工作点上的容量查表，不表示高斯容量达到码或连续输入优化。

模块采用同步高有效复位及 valid 握手；有效输入在一个时钟沿登记输出，空拍不改变数据寄存器而清除输出有效标志。端口采用有符号 32 位容器，实际有效范围按子核定义约束。

自检覆盖多组有效输入、空拍保持及复位；它验证指定算术或地址子核，不代表完整通信系统或完整译码器已经完成硬件验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

用于接收链路资源上限估计、带宽功率权衡及有限星座效率比较。必须明确每实维、每复维或每秒的单位，以及是否存在峰值功率或带宽附加约束。

07
工程上需要注意

峰值限制会改变最优输入分布。

有限星座不能在任意高信噪比下继续增长信息率。

频率选择性或有色噪声需扩展模型。

容量不是短块错误概率预测式。

实 AWGN 容量通过最大熵上界与高斯输入取等获得。实维归一化和平均功率约束是公式使用时不可省略的条件。

内容依据：每日精学第 192 课《实高斯信道的功率约束容量》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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