每日精学 206｜LDPC校验节点的boxplus软更新

2026-09-25

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变量节点的证据相加不能直接用于校验节点，因为校验关心的是邻居比特异或结果。需要先把软值转换为概率差，再利用独立异或的乘法关系。

01
模型与符号

待合并比特在局部树模型下独立，输入 a,b 均为零比一对数似然；只推导两输入异或的输出，作为高阶校验折叠子核。

a,b：输入对数似然（无量纲）

D：P0减P1（概率差）

f：异或输出似然（无量纲）

g：Jacobian修正（无量纲）

q：定点精度（步长）

02
从模型到公式

概率差参数

输入概率为 P₀=e^a/(1+e^a)、P₁=1/(1+e^a)，所以

$D=P_0-P_1=\tanh(a/2).$

两独立比特异或为零和一的概率差满足

$D_{\oplus}=D_aD_b.$

精确软更新

由 L=ln[(1+D)/(1−D)] 得

$f(a,b)=2\operatorname{atanh}\!\left[\tanh(a/2)\tanh(b/2)\right].$

等价概率求和形式为

$f(a,b)=\ln\frac{1+e^{a+b}}{e^a+e^b}.$

正负号由两个输入符号的乘积决定。

稳定修正式

利用 Jacobian 分解可得

$f(a,b)=\operatorname{sign}(ab)\min(|a|,|b|)+g(|a+b|)-g(|a-b|),$

其中 g(d)=ln(1+e^−d)。

因此

$|f(a,b)|\le\min(|a|,|b|),\quad f(a,0)=0.$

任何完全未知邻居都会使其异或约束无法单独提供可靠证据。

相等强软值的修正量

两路输入均为正数 L 时，精确 boxplus 可化为

$L\boxplus L=2\operatorname{atanh}\bigl(\tanh^2(L/2)\bigr)=\ln\cosh L.$

大幅度时

$\ln\cosh L=L-\ln2+o(1)$

因此直接最小值近似仍约高估一个 ln2，并不是两个强输入相等时修正必然为零。

小幅度时则有

$\ln\cosh L=L^2/2+O(L^4).$

输出在原点附近呈二阶衰减，反映校验关系中的不确定性叠加。稳定修正式能避免双曲函数接近端点时的数值困难；

两个查表修正的误差应合并计入，不能只报告单张表的半步长界。

03
物理含义

校验只能通过其他比特的共同可靠度推断目标比特，最弱邻居构成瓶颈。两个很强但符号相反的证据支持奇校验，因而输出符号翻转。

04
固定参数算例

固定整数软值网格正负七，比较双曲函数式、概率求和式与稳定修正式，并检查零输入和幅度上界。Q8 两个修正表各自误差不超过半LSB，合成误差不超过一LSB。

固定参数数值验证结果

量	数值
输入对数	225
stable exact max error	2.6645352591e-14
probability form max error	2.6645352591e-14
q8 max error	0.00335857590524
q8 error bound	0.00390625
zero input max output	0
boxplus 7 7	6.30685365097

图 1　精确boxplus曲面与Q8误差

表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261125；运行版本与完整结果另存为独立文件。

05
数字实现的边界

RTL 输入为正负七范围的整数软值，精确主项乘 256 后加两个 Q8 Jacobian 修正表，输出 Q8。该子核仅验证整数网格上的二输入校验更新，未构造迭代译码器。

模块采用同步高有效复位及 valid 握手；有效输入在一个时钟沿登记输出，空拍不改变数据寄存器而清除输出有效标志。端口采用有符号 32 位容器，实际有效范围按子核定义约束。

自检覆盖多组有效输入、空拍保持及复位；它验证指定算术或地址子核，不代表完整通信系统或完整译码器已经完成硬件验证。

独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。

06
适用范围

用于校验节点算术验证、短查表软计算和高阶校验串行折叠。树状归约能缩短延迟，但各层舍入误差和饱和边界需统一。

07
工程上需要注意

有环图中的输入一般不严格独立。

双曲函数在强软值处容易数值饱和。

查表误差随多级归约累积。

局部算术正确不保证整码译码性能。

box-plus 由独立比特异或概率严格推导，幅度受最弱输入约束。稳定修正式给出可量化误差的定点子核。

内容依据：每日精学第 206 课《LDPC校验节点的boxplus软更新》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 206｜LDPC校验节点的boxplus软更新

01模型与符号

02从模型到公式

概率差参数

精确软更新

稳定修正式

相等强软值的修正量

03物理含义

04固定参数算例

05数字实现的边界

06适用范围