每日精学 211｜二元擦除信道的极化概率递推
雷达 · 通信 · 电子战 / 基础精学 211
一般信道的合成密度需要积分或近似，而 BEC 的输出是否擦除只有有限状态。枚举这些状态可以直接推导极化递推，适合作为索引与概率实现的基准模型。
01
模型与符号
两次基础信道擦除事件独立且概率为 z；较好分量的译码以先前比特正确已知为条件；所有概率在闭区间零至一。
z：基础擦除率（概率）
z−：较差合成擦除率（概率）
z+：较好合成擦除率（概率）
m：递归深度（层）
N：合成信道数（个）
02
从模型到公式
较差分量
恢复
需要两个输出均未擦除，故
取补得到
任一输出缺失都会使异或未知。
较好分量
先前比特 u0 已知时，x1 或 x0 任一个可靠即可恢复 u1；只有两者都擦除才失败，因此
两者满足
递归与定点
逐层把每个值替换为两子值，产生 N=2m 个擦除率，并保持
若用 Q8 整数 a=256z，近似输出可写
每个输出误差小于一个Q8单位，但平均守恒会有舍入偏差。
向下取整造成的成对守恒偏差
精确两分支满足
对 Q8 整数输入 a，分别向下取整后有
两项的未取整之和为整数 2a。
若 a2 不能被二百五十六整除，互补小数部分各被舍去，故
若能整除则恰等于 2a。因此平均擦除概率会出现一个确定的向下偏差，不能把它解释为额外的信息增益。
用一支由总和减另一支得到可恢复成对守恒，但会改变该支的舍入规则，需要明确作为另一种实现。
03
物理含义
平方使小概率进一步缩小，互补平方使大概率进一步增大，递归于是逐步分离可靠与不可靠分量。平均信息没有增加，编码通过选择较可靠位置利用这种不均匀性。
04
固定参数算例
固定基础擦除率二分之一，计算至六层的全部合成概率，检查平均值守恒和上下界。对全部 Q8 输入穷举整数递推并测量量化误差，不把量化后的微小偏差误解为信息改变。
| 量 | 数值 |
|---|---|
| base erasure | 0.5 |
| 递推深度 | 6 |
| synthesized channels | 64 |
| mean conservation error | 0 |
| q8 better max error | 0.00379943847656 |
| q8 worse max error | 0.00389099121094 |
| channels below 0p01 | 15 |
| channels above 0p99 | 15 |
图 1 BEC极化分布演化与Q8递推误差
表中数值和图中曲线由 MATLAB 实际运行得到，随机种子为 20261130；运行版本与完整结果另存为独立文件。
05
数字实现的边界
RTL 输入 a 为零至256的Q8擦除率，b[0]=1选择平方好分量，否则选择较差分量；32位乘积后右移八位向下取整。 模块采用同步高有效复位及 valid 握手；
有效输入在一个时钟沿登记输出，空拍不改变数据寄存器而清除输出有效标志。端口采用有符号 32 位容器，实际有效范围按子核定义约束。自检覆盖多组有效输入、空拍保持及复位；
它验证指定算术或地址子核，不代表完整通信系统或完整译码器已经完成硬件验证。
独立自检程序已在 Icarus Verilog 13.0 中实际运行并通过。该结果不包含器件综合、静态时序分析或板级测试。
06
适用范围
用于 BEC 极化构造、冻结集合比较及固定点概率递推验证。一般噪声信道不能直接套用 BEC 擦除率递推作为精确可靠度。
07
工程上需要注意
基础信道擦除相关时平方公式不成立。
较好分量条件依赖此前比特已知。
多级定点舍入会积累偏差。
BEC排序不保证适合任意AWGN参数。
BEC 极化递推由两个擦除事件的并与交直接得到，可靠度分裂与平均守恒同时成立。有限精度实现应区分真实递推与舍入引入的偏差。
内容依据：每日精学第 211 课《二元擦除信道的极化概率递推》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。