每日精学 217｜缩短码已知比特的软信息初始化

2026-09-25

雷达 · 通信 · 电子战　/　基础精学 217

变码长接收机通常将收到的软信息恢复到母码的坐标顺序，再交给统一译码核心。打孔、重复与缩短都涉及长度变化，却对应不同的信息条件。打孔留下未知坐标；重复增加同一坐标的独立观测；

缩短则使用发送端已满足的确定值。恢复规则必须由信息条件决定，不能仅根据“该位置没有收到样本”判断。

所研究的原子操作是：给定一个母码坐标、对应的缩短标志和已知值，生成该坐标的初始软信息。编码构造、交织地址生成和完整译码调度不属于该操作。论证以通用二元码为对象，例证采用最小偶校验码，不依赖特定无线制式或设备参数。

01
模型与符号

母码为二元线性码，生成矩阵满行秩。缩短集合及已知值由收发双方共同确定，且约束后码集非空；接收软信息已恢复到母码坐标。传输坐标上的信道在给定码字时相互独立，剩余信息字等概。软信息以自然对数定义，正值支持零比特。已知值错误、相关观测以及译码近似将在限制部分单独讨论。

$\mathcal C,n,k$ ：母码、码长与信息维数（二元码及整数）

S,T：缩短集合及其补集， $T=S^{\mathrm c}$ （坐标集合）

c_i,b_i：码字比特及缩短位置的已知值（{0,1}）

L_i：正值支持零的自然对数软信息（无量纲）

A,ϵ_A：有限初始化幅度及不相容先验质量（A≥0）

W,F,q：总位宽、小数位数与有符号存储整数（整数）

02
从模型到公式

缩短约束与条件码集

母码由信息向量 u 和生成矩阵 G 表示。只保留满足已知坐标约束的码字，再投影到发送坐标，得到缩短码：

$c=uG\pmod 2,\qquad \mathcal C_b=\{c\in\mathcal C:c_i=b_i,\ i\in S\},\qquad \mathcal C_{\mathrm{sh}}=\{c_T:c\in\mathcal C_b\}.$

令 G_S 为取出集合 S 对应列所形成的子矩阵，r 为其在二元域上的秩。

约束 uG_S=b_S 若相容，解集的维数为 k−r。由于所有允许码字在集合 S 上完全相同，投影到 T 不会合并两个不同的允许码字。

因此缩短后的长度、独立信息维数和码率分别为

$n'=n-|S|,\qquad k'=k-r,\qquad R'=\frac{k-r}{n-|S|}.$

独立约束的数量由秩决定，并不总等于删去的坐标数。

当已知值全为零时得到线性子码；一般相容的非零已知值可产生该子码的陪集。因而“已知一填负大数”在概率表达上成立，但不能据此假定任意已知比特组合都是原线性码的有效缩短配置。

已知值的概率因子

对传输位置，以 y_i 表示观测，信道对数似然比定义为

$L_i^{\mathrm{ch}}=\ln\frac{p(y_i\mid c_i=0)}{p(y_i\mid c_i=1)}.$

对未传输的缩短位置，已知因子为 a_i(c_i)=1 当 c_i=b_i，否则为零。

初始化器表达的是此约束因子的对数比，而非虚构的一次接收测量。若以小量 ϵ>0 近似零概率，则已知值的先验对数比为

$L_i^{\mathrm{known}}=(1-2b_i)\ln\frac{1-\epsilon}{\epsilon}.$

当 ϵ→0⁺ 时，已知零得到 +∞，已知一得到 −∞。

正负号完全取决于对数比的分子约定；采用相反约定的译码接口必须同步翻转符号。确定性因子只需施加一次，不应被当作多次独立观测不断累加。

从条件概率到码字评分

独立信道和等概允许信息字给出

$P(c\mid y,c_S=b_S)\ \propto\ \mathbf 1_{\{c\in\mathcal C_b\}}\prod_{i\in T}p(y_i\mid c_i).$

逐项取对数，去掉与码字无关的常数，可得精确受约束最大后验判决：

$\widehat c=\underset{c\in\mathcal C_b}{\operatorname{arg\,max}}\ \frac12\sum_{i\in T}(1-2c_i)L_i^{\mathrm{ch}}.$

硬约束体现为候选集合的限制。

若在母码全体候选上使用有限初始化，缩短位置贡献有限的评分差；这与删除不相容候选在数学上并非同一操作。

03
有限幅度近似与物理含义

有限幅度对应的概率质量

令缩短坐标初始化为 L_i=(1−2b_i)A。逆变换得到该因子仍分配给不相容比特的概率质量：

$\epsilon_A=\frac{1}{1+e^A},\qquad A\geq\ln\frac{1-\epsilon_0}{\epsilon_0}\ \Longrightarrow\ \epsilon_A\leq\epsilon_0.$

例如 A=8 对应约 3.35×10⁻⁴，A=15.875 对应约 1.28×10⁻⁷。

这些值描述单个初始化因子的确定程度，既不是信道误码率，也不是整块译码错误率。其物理含义是接收端对编码结构的先验知识，不对应接收功率或额外发送能量。

对打孔位置，未观测的信道因子对两个比特相同，故其信道对数比为零；若还存在独立先验，则另行计入。缩短位置的已知因子则不相同。将已知零误填为零，会丢弃确定性结构；将未知位置误填为正大数，会注入无依据的偏置。两种错误都可能使统一译码器产生错误结果。

有限惩罚保持约束的充分条件

令有限评分为

$M_A(c)=\frac12\sum_{i\in T}(1-2c_i)L_i^{\mathrm{ch}}+\frac A2\sum_{i\in S}(1-2c_i)(1-2b_i)$

对任一相容候选 c^⋆ 和任一违反 m≥1 个缩短约束的候选 d，有

$M_A(d)-M_A(c^\star) =\sum_{i\in T}(c_i^\star-d_i)L_i^{\mathrm{ch}}-mA \leq\sum_{i\in T}|L_i^{\mathrm{ch}}|-mA.$

因此

$A>\sum_{i\in T}|L_i^{\mathrm{ch}}|$

是本次观测下排除所有违规候选的充分条件，并非必要条件。

若每个传输位置满足 |L_i^ch|≤ B，则更保守的条件为 A>|T|B。位宽有限时可能无法满足此条件；

此外，该结论针对全候选精确评分，不自动保证迭代译码器或列表裁剪算法的行为。

偶校验码的精确失效边界

取

$\mathcal C=\{000,011,101,110\}$

约束首位为零，则发送后两位形成重复码 {00,11}。允许候选的最大评分与违规候选的最大评分分别为

$M_{\mathrm{ok}}=\frac A2+\frac{|L_2+L_3|}{2},\qquad M_{\mathrm{bad}}=-\frac A2+\frac{|L_2-L_3|}{2}.$

违规候选严格胜出的充要条件为

$A<\frac{|L_2-L_3|-|L_2+L_3|}{2}.$

当两条观测符号相反时，右端等于 min(|L₂|,|L₃|)；

同号时右端非正。对 L₂=6,L₃=−5，A=4 输出违规码字 101，A=6 输出允许码字 000；A=5 恰好平分，输出取决于确定的平分规则。

有限大数不是不可推翻的逻辑条件。

04
固定参数算例

信道与统计基准

固定随机种子 20260920，生成 200000 个等概信息比特 b，发送两个相同的 BPSK 符号 x=1−2b。两支独立实高斯噪声的标准差均为 1；

每支观测满足 y=x+w。比较不同有限幅度下的母码四候选评分，与显式限制首位为零的两候选评分。所有幅度共享同一组数据，以避免随机样本差异掩盖初始化效应。

$L_j=\frac{2y_j}{\sigma^2},\quad j=2,3;\qquad \widehat b_{\mathrm{hard}}=\mathbf 1_{\{L_2+L_3<0\}},\qquad P_{\mathrm e}=Q\!\left(\frac{\sqrt2}{\sigma}\right).$

理论错误率为 0.0786496035，实际受约束错误率为 0.079785。

按独立伯努利试验估计，其标准误约为 0.000606；二者相差约 1.87 个标准误，与有限样本波动相容。此处固定每个发送符号的幅度和噪声方差，未进行不同码率下的每信息比特能量公平比较。

有限初始化幅度的实际统计结果

A	违规字数	违规率	信息位错误率	与硬约束判决不同率
0	53443	0.267215	0.159460	0.134165
2	4600	0.023000	0.085195	0.011580
4	72	0.000360	0.079870	0.000185
8	0	0	0.079785	0
15.875	0	0	0.079785	0

图 1　有限确定性因子的错误质量及缩短偶校验码的数值结果

结果解释与验证边界

每组仿真逐字检查了“异号且较小绝对值超过 A”与母码判决违规是否一致，五组共一百万次比较均无不一致。零初始化的违规率约为 26.7%，说明“未传输”不能直接等同于“没有先验”。

采用 A=4 时仍有 72 个违规码字，其中一部分并未改变信息位，故违规率与信息位错误率必须分别统计。

A=8 与 15.875 在本次样本中均未出现违规，不能据此宣称违规概率严格为零。零次事件的单侧 95% 二项概率上界为 1−0.05^1/200000≈1.50×10⁻⁵。

高斯观测无界，所以任意有限幅度仍存在极低概率的相反大幅观测。概率因子的错误质量也不能替代这一事件概率上界。

05
数字实现的边界

06
适用范围

该初始化规则适用于位置和已知值已确定的二元缩短码接收接口，也适用于具有相同确定性语义的填充比特恢复。公开工具文档将极化码缩短位置恢复为大正软信息，将 LDPC 填充零恢复为正无穷；

两者体现相同的已知零语义，但不能据此互换其地址规则或编码约束。实际接口需同时核对正负号约定、坐标排列、标度和有效周期。

在统一软译码核心前，初始化器可以承担母码软信息向量的局部恢复。在需要严格保持已知值的场合，可额外传递已知掩码，译码阶段以掩码限制候选或固定相应变量。有限值方案节省特殊状态处理，但其允许范围必须结合后续运算和候选裁剪进行验证；不存在独立于译码结构的通用“足够大”常数。

07
工程上需要注意

若已知值来源于可能出错的旁信息，确定性模型不再成立，应按其真实错误概率生成有限先验。错误的确定值会排除真实码字；单纯增大初始化幅度只会加重偏置。若约束集合不相容，精确受约束判决无解，不能通过补入更大软信息修复。

浮点无穷在某些相加或相减路径中可能导致未定义结果；有限补码则存在饱和与回绕问题。对已知因子的多次重复注入，相当于重复计算同一先验，会改变软评分。普通样本的相关性还会使独立似然相乘假设失效。这些因素都应与初始化器本身的选择逻辑区分验证。

数值例证只研究一个偶校验母码及一组噪声参数，不代表任意长码的误码性能。信息位错误率改善也不能直接归因于增加发送能量：本例在相同观测下比较不同约束表达。固定点初始化器仅验证整数语义，未与完整浮点译码曲线构成逐比特的端到端硬件一致性证明。

缩短位置恢复的是编码所赋予的确定性约束。零比特为正的自然对数约定下，已知零与已知一分别对应正、负无穷；有限幅度只是其可计算近似。概率反演、候选评分差和精确反例共同说明，有限常量的可靠度必须结合其他证据衡量。

正确实现还依赖缩短约束相容、坐标与标度一致，以及已知因子仅施加一次。

内容依据：每日精学第 217 课《缩短码已知比特的软信息初始化》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 217｜缩短码已知比特的软信息初始化

01模型与符号

02从模型到公式