每日精学 001｜正弦信号、复指数与相位：从波形到 I/Q

2026-09-25

雷达 · 通信 · 电子战　/　基础精学 001

一条波形，一个相量，一组相位递推

在通信和雷达处理中，同一个正弦信号常有三种写法：时域里的余弦曲线、复平面上的旋转相量，以及数字电路中的相位累加器。把这三种表示对应起来，I/Q、相位补偿和数字本振就有了共同的数学起点。

核心关系：正弦波是旋转相量在实轴上的投影；频率决定相位增长的速度，初始相位决定起点。

01
振幅、频率和相位

一个连续时间正弦信号可以写成：

公式 1：x(t) = A cos(2πft + φ); ω = 2πf，T = 1/f

A 为正的峰值振幅，f 的单位为 Hz，φ 的单位为 rad；本文取 A > 0、f > 0。

振幅决定波形有多高，频率决定每秒重复多少次，相位决定观察开始时信号处于周期的哪个位置。角频率 ω 表示每秒转过的弧度数，与频率 f 相差一个 2π。

例如，A = 1、f = 1 kHz、φ = π/4 时，周期为 1 ms，初始相位为 45°。在 t = 0 时，信号已经处于 cos 45° ≈ 0.7071 的位置，并不从零开始。

相位比较需要共同的时间参考。若两个信号的频率不同，它们的相位差会随时间变化；只有同频时，相位差才可以保持为常数。

02
从正弦波到旋转相量

欧拉公式把三角函数与复指数连接起来。工程中通常用 j 表示虚数单位，满足 j² = −1：

公式 2：e^(jθ) = cos θ + j sin θ; z(t) = A e^(j(ωt + φ)); x(t) = Re{z(t)}

Re{·} 表示取实部。

z(t) 可以看成复平面上一根长度为 A 的向量。时间增加时，它以角速度 ω 转动；向量在水平轴上的投影，正是余弦波。频率越高，转动越快；振幅越大，向量越长。

同样，由正转和反转两个复指数相加，可以得到实余弦：

公式 3：cos θ = (e^(jθ) + e^(−jθ))/2

这也解释了实余弦为什么同时具有正、负频率分量。负频率在复数表示中对应反向旋转，是描述信号的数学组成部分。

03
I/Q 保留两个正交坐标

把复信号的实部记作 I，虚部记作 Q，就得到同相与正交分量（In-phase / Quadrature，I/Q）：

公式 4：I(t) = A cos(ωt + φ); Q(t) = A sin(ωt + φ); z(t) = I(t) + jQ(t)

图 1　相量的水平、垂直投影分别形成 I 和 Q。算例初始相位为 45°，两个初始分量均约为 0.7071。

图 1　相量的水平、垂直投影分别形成 I 和 Q。算例初始相位为 45°，两个初始分量均约为 0.7071。

两个坐标共同确定复平面上的位置。对本文的非零单频复信号，令 θ(t) = ωt + φ，可由 I、Q 求得幅度与主值相位 θp：

公式 5：A = √(I² + Q²); θ_(p) = atan2(Q, I)

atan2 区分四个象限，返回 [−π, π] 范围内的主值相位；θp 与 θ 按模 2π 等价。

主值相位不记录已转过的整周数，不能直接当作随时间连续增长的相位。连续相位需要在采样相位变化可判别等条件下进行相位展开；当 I = Q = 0 时，幅度为零，物理相位没有定义。

若只知道某一时刻的 I 值，通常无法区分相位 θ 与 −θ，因为 cos θ = cos(−θ)。保留 Q 后，两个位置就能区分。对于随时间变化的信号，复数表示也便于统一完成混频、滤波和相位旋转。

符号约定：本文采用 z = I + jQ。有些接收机采用相反的 Q 极性；处理链中的约定必须一致，否则相位和频率方向的解释会发生变化。

04
时延如何变成相移

将信号延迟 τ，意味着把时间变量 t 换成 t − τ。代入后可直接看到相位变化：

公式 6：x(t − τ) = A cos[ω(t − τ) + φ]; = A cos(ωt + φ − ωτ); Δφ = −ωτ = −2πfτ

在本文的正频率和复指数约定下，正时延引起负相位变化，也就是相位滞后。以 1 kHz 信号为例，延迟 125 μs，相当于延迟了八分之一个周期：

公式 7：Δφ = −2π × 1000 × 125 × 10^(−6); = −π/4 = −45°

图 2　橙色虚线相对蓝色实线向右移动 125 μs，对应同频信号的 45° 相位滞后。

图 2　橙色虚线相对蓝色实线向右移动 125 μs，对应同频信号的 45° 相位滞后。

这一关系有两个重要前提。其一，单频相位仅在模 2π 的意义下确定：对单频信号，τ 与 τ + T 产生相同的相位结果，单频相位不能唯一确定绝对时延。

其二，同一个时延对不同频率产生不同相移。多频或宽带信号的真实延迟，对应随频率线性变化的相位；一个对所有频率施加相同角度的移相器，不能普遍替代真实时延。

05
采样后，每一步增加多少相位

采样率为 Fs 时，第 n 个样本对应 t = n/Fs。连续时间模型变为：

公式 8：x[n] = A cos(Ωn + φ); Ω = 2πf/F_(s)

Ω 是离散时间角频率，单位为 rad/sample。

用 16 kHz 的采样率采集 1 kHz 正弦信号，每个周期得到 16 个样本，相邻样本的相位增加 π/8，也就是 22.5°。

图 3　连续曲线与离散样本的对应关系。横轴保留实际时间，蓝色离散点每隔 62.5 μs 取一个样本。

图 3　连续曲线与离散样本的对应关系。横轴保留实际时间，蓝色离散点每隔 62.5 μs 取一个样本。

频率 f 描述每秒转几圈，Ω 描述每个样本转多少弧度。比较不同采样率的系统时，需要同时注明实际频率和归一化频率；相同的离散序列，在不同采样时钟下可以对应不同的实际频率。

06
相位累加器把模型变成电路

数控振荡器（Numerically Controlled Oscillator，NCO）可以用整数相位累加器实现等步进旋转。设累加器有 W 位，相位步进字为 K：

公式 9：p[n + 1] = (p[n] + K) mod 2^(W); θ[n] = 2πp[n]/2^(W); f_(out) = KF_(s)/2^(W)

K 为整数，Fs 为相位更新率；这里取 0 < K < 2W−1，输出频率低于奈奎斯特频率。

每次加 K，就让相量向前转一小步；累加器溢出回绕，相当于相位绕完一周。将相位映射到余弦查找表，就得到离散波形。

当 W = 16、K = 4096 时，每个采样周期前进一周的 1/16。若时钟为 16 kHz，输出就是 1 kHz；若时钟为 160 MHz，同样的整数步进对应 10 MHz。

上述步进字决定频率，初相位则由累加器初值决定。为复现前文 φ = π/4 的波形，还需设置 p[0] = 216φ/(2π) = 8192，并以更新前的 p[n] 生成第 n 个样本。相位映射这里按理想余弦值计算；实际查表和幅度量化会引入误差。

三个位宽的作用需要分开：累加器位宽决定频率步进分辨率，查表地址位宽决定相位网格，输出位宽决定幅度量化精度。增加其中一个位宽，不能自动消除另外两类误差。

07
用一组数值核对三种表示

以下结果沿用第 1 课固定参数：A = 1、f = 1 kHz、Fs = 16 kHz、φ = π/4、τ = 125 μs。原课 MATLAB 数值结果与解析值一致；本次图文版按相同参数重新绘制了示意图。

检查项解析关系数值
周期1/f1 ms
每周期样本数Fs/f16
每样本相位增量2πf/Fsπ/8
延迟相移−2πfτ−45°
初始 I / Qcos φ / sin φ均约 0.7071

三种表示都在描述同一件事：相位如何随时间或采样序号增长。连续时间用 ωt，离散时间用 Ωn，数字电路用相位累加值 p[n]。把单位、正负号和参考时刻对齐，三者就可以互相核对。

从正弦波走向 I/Q、数字混频和相干处理，首先需要确认的始终是：相位相对于谁定义，每次更新又前进了多少。

内容依据：每日精学第 01 课《正弦信号、复指数与相位》及配套 MATLAB 结果。图为固定参数的数值示意，不代表设备实测。

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