每日精学 002｜采样、混叠与离散时间频率

2026-09-25

雷达 · 通信 · 电子战　/　基础精学 002

连续时间电压、电流或电磁场经模数转换后成为数字序列。该过程并非简单地把时间变量替换为整数：采样会使连续频谱以采样频率为周期重复，离散时间频率也因此失去唯一的绝对频率标识。

若重复频谱相互重叠，不同连续时间信号能够产生完全相同的样本，后续数字处理无法再唯一恢复原信号，这一现象称为混叠。

01
模型与符号

设连续时间信号为 x(t)，其傅里叶变换采用频率变量 f：

$X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi ft}\,\mathrm{d}t.$

均匀采样周期为 T_s，采样频率为 F_s=1/T_s，第 n 个样本记为 x[n]=x(nT_s)。

基本推导采用以下假设：

采样时钟严格均匀，暂不考虑时钟抖动；
输入信号能量有限，并满足基带带限条件 X(f)=0（当 |f|>B）；
理想采样脉冲宽度为零，理想重建滤波器具有矩形频率响应；

T_s：均匀采样周期（s）

F_s：采样频率，F_s=1/T_s（Hz）

B：基带信号的最高非零频率（Hz）

f_N：奈奎斯特频率，f_N=F_s/2（Hz）

Ω：离散时间角频率，Ω=2π f/F_s（rad/sample）

M：整数抽取因子，输出采样率为 F_s/M（无量纲）

02
冲激串采样与频谱周期延拓

时域采样模型

理想均匀采样可用周期冲激串表示：

$p_{T_s}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s).$

输入信号与冲激串相乘后得到理想采样信号

$\begin{aligned} x_s(t) &=x(t)p_{T_s}(t)\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)\delta(t-nT_s)\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\delta(t-nT_s). \end{aligned}$

第二步利用了冲激的筛选性质

$x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)\delta(t-t_0)$

因此，冲激的权值就是离散样本值。

频域推导

周期冲激串的傅里叶变换仍为周期冲激串：

$P_{T_s}(f)=\frac{1}{T_s} \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(f-kF_s).$

时域相乘对应频域卷积，故

$\begin{aligned} X_s(f) &=X(f)*P_{T_s}(f)\\ &=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty} X(f-kF_s). \end{aligned}$

该关系表明：采样后的频谱由原频谱的无限多个副本组成，相邻副本间隔为 F_s，幅度整体乘以 1/T_s。

混叠并非数值算法产生的误差，而是这些频谱副本发生不可逆重叠的直接结果。

03
采样定理与理想重建

奈奎斯特可恢复条件

若 X(f) 仅在 [−B,B] 内非零，则每个频谱副本占据宽度 2B。相邻副本不重叠的条件为

$\boxed{F_s>2B}.$

等号只在频带边界严格为零且系统完全理想时才可能成立。

实际系统必须为模拟滤波器的过渡带、时钟偏差和信号带外泄漏保留裕量，因此通常采用严格大于两倍带宽的采样率。

理想低通重建

当 B<F_s/2 时，可选用理想重建滤波器

$H_r(f)= \begin{cases} T_s, & |f|<F_s/2,\\ 0, & |f|\geq F_s/2. \end{cases}$

定义归一化函数

$\operatorname{sinc}(u)=\frac{\sin(\pi u)}{\pi u}, \qquad \operatorname{sinc}(0)=1,$

则上述矩形低通滤波器的冲激响应为

$h_r(t)=\operatorname{sinc}\left(\frac{t}{T_s}\right).$

将 x_s(t) 与 h_r(t) 卷积，可得香农插值公式

$\boxed{ x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_s}{T_s}\right) }.$

在 t=mT_s 处，除 n=m 外的所有 sinc 项均为零，因此插值曲线严格通过每一个样本。

理想 sinc 在时间上无限延伸且非因果，工程系统通常以有限长 FIR 滤波器近似。

04
离散时间频率与混叠等价类

连续频率到离散频率的映射

对连续时间正弦信号

$x(t)=A\cos(2\pi ft+\phi)$

进行均匀采样，得到

$x[n]=A\cos(\Omega n+\phi), \qquad \boxed{\Omega=2\pi\frac{f}{F_s}}.$

由于 n 为整数，

$\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\Omega+2\pi k)n} =\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega n}\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\pi kn} =\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega n}, \qquad k\in\mathbb{Z}.$

因此，Ω 与 Ω+2π k 表示同一个离散复指数；

相应地，连续频率 f 与 f+kF_s 产生相同样本。离散时间频率的一个主值区间通常选为 [−π,π)。

实正弦信号的频率折叠

对实余弦信号，正负频率共轭成对出现。任意连续频率可先映射到奈奎斯特主区间：

$\begin{aligned} f_p &= \left[(f+F_s/2)\bmod F_s\right]-F_s/2,\\ f_{\mathrm{alias}}&=|f_p|, \qquad 0\leq f_{\mathrm{alias}}\leq F_s/2. \end{aligned}$

其中 f_p 保留复频率的正负方向，f_alias 表示实余弦的非负折叠频率。对实余弦，若把负的有符号频率改写为正频率，初相位也应取反：cos(−ωn+φ)=cos(ωn−φ)。频率折叠值相同不代表可以忽略相位符号。

当

$F_s=\SI{8}{kHz}$

、ϕ 固定时，

$\begin{aligned} \cos\left(2\pi\frac{9000}{8000}n+\phi\right) &=\cos\left(2\pi\frac{1000}{8000}n+2\pi n+\phi\right)\\ &=\cos\left(2\pi\frac{1000}{8000}n+\phi\right). \end{aligned}$

因此，1 kHz 与 9 kHz 信号在该采样率下形成完全相同的样本。

另一方面，6.5 kHz 映射为

$f_p=\SI{-1.5}{kHz}, \qquad f_{\mathrm{alias}}=\SI{1.5}{kHz}.$

离散正弦序列的周期性

离散复指数 e^{jΩ n} 存在整数周期 N₀ 的条件为

$\Omega N_0=2\pi m, \qquad m\in\mathbb{Z}.$

等价地，

$\Omega/(2\pi)=f/F_s$

必须是有理数。

若该比值化为最简分数 p/q，则一般情况下基本周期为 q 个样本。连续时间正弦信号总是周期的，但以任意采样率形成的离散序列不一定具有有限整数周期。

05
抽取过程中的新混叠

整数倍抽取保留每 M 个输入样本中的一个：

若输入为

$x[n]=A\cos(\Omega_{\mathrm{in}}n+\phi)$

则

$y[m]=A\cos(M\Omega_{\mathrm{in}}m+\phi).$

输出离散频率为 MΩ_in 对 2π 取主值。

由于输出采样率降为原来的 1/M，抽取前必须把输入带宽限制在

$|\Omega|\leq\frac{\pi}{M}.$

例如，

$\Omega_{\mathrm{in}}=0.3\pi$

、M=4 时，未经滤波的输出频率为 1.2π，映射到主值区间后为 −0.8π。

实余弦因此表现为 0.8π 的折叠频率。完整抽取器应由数字低通滤波器与降采样开关组成，工程中常采用多相 FIR 结构降低运算量。

06
固定参数算例

数值仿真参数列于表 1。所有频率均选在离散傅里叶变换的整数频点上，以便把混叠与有限记录造成的频谱泄漏区分开。

数值仿真参数

F_s	N	f₁	f₂	f₃	M
8 kHz	1024	1 kHz	9 kHz	6.5 kHz	4

图 1：采样等价、频率折叠、FFT 检测与抽取混叠的 MATLAB 验证结果。（子图 1）

图 1　采样等价、频率折叠、FFT 检测与抽取混叠的 MATLAB 验证结果。

图 1 左上比较 1 kHz 与 9 kHz 连续波形，并标出 8 kHz 采样点；两条连续曲线不同，但所有采样点重合。右上给出输入频率到 [0,F_s/2] 的折叠映射。

左下显示 6.5 kHz 输入采样后的单边 FFT 峰值位于 1.5 kHz。右下验证 M=4 抽取把 0.3π 映射为主值 −0.8π，其真实余弦序列与 0.8π 等效序列重合。

解析结果与 MATLAB 数值结果

验证项	解析结果	MATLAB 结果	结论
1 kHz/9 kHz 样本差	0	1.43×10⁻¹²	一致
6.5 kHz 折叠频率	1.5 kHz	1.5 kHz	一致
0.3π 经四倍抽取	−0.8π	−0.8π	一致
抽取序列等效误差	0	2.83×10⁻¹⁵	一致

07
工程设计条件与非理想因素

因素	影响与设计处理
模拟抗混叠滤波	在模数转换前衰减 F_s/2 以上的带外分量；所需阻带衰减由允许的混叠误差决定。
过采样与保护带	若目标通带上限为 B_p，则 F_s/2−B_p 是滤波器过渡带。提高 F_s 可放宽模拟滤波器要求。
时钟抖动	对频率为 f_in 的满幅正弦，抖动上限近似为 SNR_j=−20log₁₀(2π f_inσ_t)。
孔径与保持效应	有限孔径和零阶保持产生近似 sinc 幅频下垂，高频分量受到更明显的幅度衰减。
量化与动态范围	量化噪声不会消除混叠；带外大信号可能先混叠到通带，再占用有限的量化动态范围。
有限记录与窗函数	频谱泄漏来自有限观测长度，与混叠的物理机制不同；窗函数可改变泄漏但不能恢复已混叠频率。

在通信中，采样率需覆盖调制信号占用带宽并为信道选择滤波保留过渡带；在雷达中，快时间与慢时间具有不同的采样率和混叠边界，必须分别分析；在数字接收机中，数字下变频后的抽取级通常采用逐级滤波和降采样，以控制计算量并保持目标带宽。

08
数字实现的边界

配套的可综合模块实现整数倍抽取控制：输入样本由 s_valid 标识，模块每接收 M 个有效样本输出一个样本，并用 m_valid 标识输出。无效输入周期不推进抽取计数器，因此该接口可与具有间歇有效数据的前级连接。

该模块只实现降采样开关，不包含抗混叠 FIR 滤波器。若输入信号带宽超过输出奈奎斯特区间，模块仍会按规则输出数据，但频谱将发生不可逆重叠。自检 testbench 通过有间隔和无间隔两组输入验证“每四个有效样本保留第一个”的控制规则。

当前环境未配置 SystemVerilog 仿真器，因此验证范围限于源码结构检查；脚本保留完整的自检逻辑，具备仿真器后可直接运行。

理想均匀采样使连续频谱以 F_s 为间隔周期延拓。对最高频率为 B 的基带带限信号，F_s>2B 是频谱副本不重叠和理想重建成立的基本条件。

连续频率经采样后映射为 Ω=2π f/F_s，而离散频率以 2π 为周期，因此相差整数倍 F_s 的连续频率属于同一采样等价类。

实余弦还具有正负频率折叠关系。抽取把输入离散频率乘以 M，必须在降采样前把带宽限制到 π/M。MATLAB 结果与解析映射一致；SystemVerilog 抽取模块明确区分了“保留样本的控制功能”与“抽取前抗混叠滤波功能”。

内容依据：每日精学第 02 课《采样、混叠与离散时间频率》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 002｜采样、混叠与离散时间频率

01模型与符号

02冲激串采样与频谱周期延拓