每日精学 003｜离散时间 LTI 系统的卷积和

2026-09-25

雷达 · 通信 · 电子战　/　基础精学 003

数字接收链中的滤波、脉冲整形、信道等效响应、匹配滤波和抽取前抗混叠处理，均可在适当条件下建模为离散时间 LTI 系统。该模型的核心价值在于：系统对任意输入的零状态响应不必逐类求解，只需已知系统对单位冲激的响应，即可通过卷积和计算全部输出。

卷积和同时连接了三类描述。第一类是系统描述，即单位冲激响应 h[n]；第二类是数学运算，即输入与冲激响应的移位加权叠加；第三类是硬件结构，即乘法器、延迟寄存器与加法器组成的有限冲激响应（finite impulse response, FIR）数据通路。

该联系是后续频率响应、傅里叶变换、相关与匹配滤波分析的时域基础。

本文只研究零初始状态下的离散时间 LTI 映射。非线性、时变参数、反馈初始状态以及采样之前的连续时间效应不包含在基本推导中，并在限制条件中单独说明。

01
模型与符号

设系统算子为 $\mathcal{T}\{\cdot\}$ ，输入为 x[n]，输出为 y[n]，其中 n∈ℤ。基本推导采用以下假设：

系统满足线性与时不变性，且输出仅取零状态响应；
序列定义在全部整数时刻，未给出的有限长样本按零处理；
卷积和在所讨论的时刻绝对收敛，或至少以有限和形式存在；
数字实现采用二进制补码有符号整数，寄存器在复位后处于零状态。

n,k,m：离散时间索引与求和索引（ℤ）

x[n]：系统输入序列（实数或复数）

y[n]：系统零状态输出序列（实数或复数）

δ[n]：单位冲激，n=0 时为 1，其余时刻为 0（{0,1}）

h[n]：单位冲激响应， $h[n]=\mathcal{T}\{\delta[n]\}$ （实数或复数）

*：离散卷积，y=x*h（运算符）

L_x,L_h：有限输入与有限冲激响应的样本数（正整数）

02
离散时间 LTI 系统

线性

若对任意输入 x₁[n]、x₂[n] 及任意标量 a、b 均有

$\mathcal{T}\{a x_1[n]+b x_2[n]\} =a\mathcal{T}\{x_1[n]\}+b\mathcal{T}\{x_2[n]\},$

则系统为线性系统。

线性同时包含齐次性与可加性，允许把复杂输入分解为简单分量后分别求响应，再进行加权叠加。

时不变性

若

$y[n]=\mathcal{T}\{x[n]\}$

成立时，对任意整数位移 n₀ 均有

$\mathcal{T}\{x[n-n_0]\}=y[n-n_0],$

则系统为时不变系统。

时不变性要求输入发生多少个样本的位移，输出只发生相同位移，其波形与幅度关系不因绝对时刻而改变。

单位冲激响应

单位冲激定义为

$\delta[n]= \begin{cases} 1, & n=0,\\ 0, & n\neq 0. \end{cases}$

系统对单位冲激的零状态响应记为

$h[n]=\mathcal{T}\{\delta[n]\}.$

由时不变性，移位冲激的响应为

$\mathcal{T}\{\delta[n-k]\}=h[n-k].$

因此，只要任意输入能够写成移位冲激的线性组合，h[n] 就足以确定对应输出。

03
卷积和的完整推导

输入序列的冲激分解

单位冲激具有离散筛选性质。对固定的 n，求和

$\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k]$

中只有 k=n 对应的冲激取 1，其余项均为 0，因而

$\boxed{x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k]}.$

该式把序列表示为一组移位单位冲激的叠加，每个冲激的权值等于相应输入样本 x[k]。

由线性与时不变性得到卷积和

将冲激分解代入系统算子，得到

$\begin{aligned} y[n] &=\mathcal{T}\{x[n]\}\\ &=\mathcal{T}\left\{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k] \right\}. \end{aligned}$

利用线性，将求和与标量移至系统算子之外：

$\begin{aligned} y[n] &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\mathcal{T}\{\delta[n-k]\}. \end{aligned}$

再利用时不变性，δ[n−k] 的响应是 h[n−k]，故

$\boxed{ y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k] =(x*h)[n] }.$

卷积和不是对一般系统的近似，而是离散时间 LTI 系统零状态输入输出关系的直接结果。

线性负责“加权叠加”，时不变性负责把每个移位冲激的响应写为同一个 h[n] 的对应移位。

等价索引形式

令 m=n−k，即 k=n−m。当 k 遍历全部整数时，m 也遍历全部整数，因此

$y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}h[m]x[n-m].$

于是有交换关系

该等价形式在直接型 FIR 实现中更常见：当前输出由当前及历史输入 x[n−m] 与固定抽头系数 h[m] 相乘后求和得到。

有限长序列的求和范围

若 x[n] 仅在 0≤ n≤ L_x−1 非零，h[n] 仅在 0≤ n≤ L_h−1 非零，则

$y[n]=\sum_{k=\max(0,n-L_h+1)}^{\min(n,L_x-1)} x[k]h[n-k],$

输出非零索引范围为

$0\le n\le L_x+L_h-2,$

对应长度

$\boxed{L_y=L_x+L_h-1}.$

有限长卷积的起始和结束阶段只有部分样本重叠；

中间阶段可能出现完全重叠。该边界效应解释了软件处理中常见的 full、same 与 valid 输出长度差异。本文数值验证采用完整卷积长度。

04
结构性质与物理含义

移位、加权与求和

对固定输出时刻 n，可把 h[n−k] 看作关于 k 的序列。计算过程包含四个动作：先将 h[k] 反折为 h[−k]，再平移为 h[n−k]，随后与 x[k] 逐点相乘，最后对全部重叠样本求和。

等价地，也可把每个输入样本 x[k] 视为触发一个幅度为 x[k]、起点位于 k 的冲激响应副本；所有副本在时刻 n 的代数和就是 y[n]。

在因果 FIR 直接型结构中，后一种解释更贴近硬件：延迟寄存器保存 x[n−1],x[n−2],…，固定系数保存 h[0],h[1],h[2],…，乘加网络完成

$y[n]=h[0]x[n]+h[1]x[n-1]+h[2]x[n-2]+\cdots.$

代数性质

在相关求和收敛时，离散卷积满足

$\begin{aligned} x*h &= h*x, &&\text{交换律},\\ (x*h_1)*h_2 &= x*(h_1*h_2), &&\text{结合律},\\ x*(h_1+h_2) &= x*h_1+x*h_2, &&\text{分配律},\\ x*\delta &= x, &&\text{单位元}. \end{aligned}$

结合律表明串联 LTI 系统的总冲激响应等于各级冲激响应的卷积；

分配律表明并联 LTI 支路的总冲激响应等于各支路冲激响应之和。

因果性与稳定性

离散时间 LTI 系统为因果系统的充要条件是

$\boxed{h[n]=0,\qquad n<0}.$

此时 y[n] 只依赖当前及过去输入。

系统满足有界输入有界输出（bounded-input bounded-output, BIBO）稳定性的充分必要条件为

$\boxed{\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|<\infty}.$

若 |x[n]|≤ B_x，则由三角不等式

$\begin{aligned} |y[n]| &\le \sum_{k=-\infty}^{\infty}|x[k]|\,|h[n-k]|\\ &\le B_x\sum_{m=-\infty}^{\infty}|h[m]|. \end{aligned}$

当 h[n] 绝对可和时，右端是与 n 无关的有限常数，因而输出有界。

任意有限长 FIR 冲激响应均绝对可和，所以在精确算术和有限系数条件下必然 BIBO 稳定。

05
三抽头 FIR 的逐点计算

考虑因果冲激响应

$h[0]=1,\qquad h[1]=2,\qquad h[2]=1,$

其余时刻为零。卷积和化为

$\boxed{y[n]=x[n]+2x[n-1]+x[n-2]}.$

对有限输入

$x[n]=\{2,-1,3,4\},\qquad 0\le n\le 3,$

并令区间外输入为零，可得表 2 所示的完整卷积。

三抽头 FIR 的逐点卷积结果

n	x[n]	2x[n−1]	x[n−2]	y[n]
0	2	0	0	2
1	−1	4	0	3
2	3	−2	2	3
3	4	6	−1	9
4	0	8	3	11
5	0	0	4	4

因此

$y[n]=\{2,3,3,9,11,4\},\qquad 0\le n\le 5.$

该结构的直流增益为系数和 1+2+1=4。若需要单位直流增益，可在系统定义中采用 h[n]={1,2,1}/4；

在二进制定点硬件中，除以 4 可由算术右移实现，但必须明确负数舍入规则与输出位宽。

06
固定参数算例

MATLAB 程序采用固定的 64 点有符号整数输入和冲激响应 h[n]={1,2,1}。显式实现按照卷积定义使用两层有限循环，不调用内置卷积函数；

其结果再与 conv 独立比较。另构造两个输入分量、5 点时移序列和单位冲激序列，分别检验线性、时不变性与冲激响应恢复。由于当前受限运行环境禁止 MATLAB 建立启动所需的本机回环服务，MATLAB 进程在脚本入口之前终止。

为保留可核查的数值证据，采用同一组固定整数参数和同一显式卷积循环建立独立参考实现；下表与图 1 均来自该参考实现。

独立整数参考实现的数值验证结果

验证项目	最大绝对误差
显式卷积与内置卷积	0
线性叠加关系	0
5 点时移不变关系	0
单位冲激响应恢复	0
手算例 {2,−1,3,4}*{1,2,1}	0

图 1：固定输入、三抽头冲激响应、完整卷积输出与独立整数参考算法残差。（子图 1）

图 1：固定输入、三抽头冲激响应、完整卷积输出与独立整数参考算法残差。（子图 2）

图 1　固定输入、三抽头冲激响应、完整卷积输出与独立整数参考算法残差。

全部参考比较均在整数可精确表示的双精度范围内进行，因此零误差表示两种计算路径逐样本完全一致，而不是由显示精度掩盖的小量误差。该结果验证了固定测试向量下的卷积定义及 LTI 基本性质，也不等价于对任意输入、任意系数或任意有限字长实现的形式化证明。

本次 MATLAB 脚本断言与数值输出另行保存。

07
数字实现的边界

08
适用范围

卷积模型适用于能够在所考察时间范围内近似为线性、时不变且零状态的离散系统。典型公开基础应用包括：通信接收机的通道滤波与脉冲整形，雷达信号处理中的线性滤波与匹配滤波，电子系统中的数字中频滤波，以及多速率处理前的 FIR 抗混叠滤波。

各场景的差异主要体现在 h[n] 的设计，而时域计算形式保持不变。

有限长 FIR 具有严格有限记忆、容易实现线性相位、量化后仍不存在递归极点等特点。长度为 L_h 的一般直接型 FIR 每个输出样本需要 L_h 次乘法和 L_h−1 次加法；

对称系数可共享预加法，二的整数次幂系数可用移位替代乘法。实际吞吐率还受流水线级数、存储组织、时钟频率和接口握手约束。

09
工程上需要注意

非线性与时变性：限幅、自动增益调整、系数在线切换和时变传播环境通常不能由单一固定 h[n] 完整描述。
初始状态：含反馈或存储状态的系统可能具有零输入响应；单纯卷积只给出零状态响应，必须另行叠加初始条件贡献。
有限字长：输入、系数和累加器量化会引入误差；累加器位宽不足会产生回绕或饱和，右移缩放还涉及截断、舍入与符号处理。
边界处理：有限数据帧的补零、周期延拓、镜像延拓或重叠保存策略会改变帧边缘结果，必须与系统定义一致。
时序实现：寄存器和流水线引入确定性延迟；有效信号存在空拍时，状态是否推进必须由接口协议明确规定。
模型范围：采样抖动、模拟前端失真和模数转换器非理想性发生在离散 LTI 模型之前，不能由本文 FIR 结构自动消除。

任意离散序列均可分解为移位单位冲激的加权和。对线性且时不变的系统，每个移位冲激分别产生同样移位的单位冲激响应，所有响应的线性叠加直接给出卷积和

$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k].$

该关系把抽象系统性质、时域样本贡献和 FIR 硬件乘加结构统一在同一模型中。

与 MATLAB 算法一致的独立整数参考实现中，五项比较均得到零误差，验证了固定测试向量下的卷积计算、线性、时不变性和冲激响应恢复；本次 MATLAB 补充运行也通过了上述验证。

三抽头 SystemVerilog 结构给出了与手算序列一致的自检向量；原报告未运行 HDL 仿真器，其功能验证仍以 testbench 源文件和结构检查为边界。

内容依据：每日精学第 03 课《离散时间 LTI 系统的卷积和》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

阅读15

写评论...

每日精学 003｜离散时间 LTI 系统的卷积和

01模型与符号

02离散时间 LTI 系统

线性