JED 2025年7月｜从单位球读懂球面三角公式

2026-09-26

从单位球读懂球面三角公式

JED 2025年7月太空电子战第二讲深读

图1 编辑绘制的单位球示意。A、B、C分别与对边a、b、c配对；图中采用三个内角均为90°的特殊例子。页面上的投影角度不等于球面上的真实内角。

在球面上，一个三角形可以有三个直角。它的“边长”还可以写成30度，而不是30米。初次接触球面三角学时，这两件事常让人觉得与熟悉的三角函数矛盾；实际上，改变的是几何对象，以及符号代表的量。

Dave Adamy在2025年7月JED的EW 101栏目中，用两页篇幅介绍了单位球、球面三角定律和Napier规则。[1] 本文把其中的符号与条件展开，修正原刊公式归类中的一处问题，并用一个纯几何算例串起这些关系。原文属于卫星专题的数学铺垫，本篇也将范围保持在基础几何，不把角关系直接写成完整的卫星观测结果。

01 单位球保留方向关系

原刊从半径为1的单位球开始。它的用途，是把围绕某一个共同原点的方向关系放到球面上表示。三个方向与单位球相交，给出三个球面顶点；将合适的顶点用大圆短弧连接，才得到本篇讨论的球面三角形。把半径设为1，主要是为了先处理角度，不是在宣布实际地球的半径只有一个长度单位。

球心的位置取决于问题本身。原文提到地心，也提到天线相位中心等局部参考点。读者要关注的，是所有方向是否相对于同一个原点定义。改变原点后，通常要重新计算方向；不能把地心看到的夹角，直接当成地面观测者看到的仰角。

单位球中的边用圆心角度量。若后来需要换成半径为R的球面弧长，就要重新引入尺度。下面的关系中，弧长与半径采用相同长度单位，角度必须采用弧度。原刊选用度数讲解公式是可行的，但从角度变成长度时，这个换算步骤不能省掉。

这也解释了一个常见错觉：半径取1时，弧长数值与以弧度表示的圆心角恰好相同，却不意味着“角度”和“米”成为同一种量。把数值相等误当成量纲相同，后面即使每次按键都正确，也会得到错误解释。

$a_{\mathrm{rad}}=\frac{\pi}{180}\,a_{\mathrm{deg}},\qquad s=R\,a_{\mathrm{rad}}$

a的deg下标表示度数值，rad下标表示弧度值；s是对应大圆弧长，R为球半径。例如角边30°应先换为π/6弧度，再与R相乘。下标表示单位口径，不代表两条不同的边。

02 球面上的曲线不都能当作三角形的边

球面三角公式有一个明确前提：三条边都必须是大圆弧。大圆来自一个经过球心的平面与球面的相交；如果平面没有经过球心，交线就是小圆。曲线看起来都在球面上，并不足以说明它们满足同一组公式。

地理图像有助于分清这一点。赤道属于大圆；一条完整经线所在的子午圈也属于大圆。除赤道外，通常的纬线属于小圆。因此，沿某条非赤道纬线取一段弧，再与另外两段弧拼起来，不能不加检查就套用本篇的球面三角定律。Tatum的球面三角讲义也专门强调了这一限制。[2]

为了让讨论有确定边界，本文使用通常的非退化凸球面三角形：三个顶点不同、不共大圆，三边取小于180°的短弧，区域位于一个半球内。这些条件避免了长弧、补区域和重合顶点造成的额外歧义。更一般的球面多边形并没有因此被否定，只是超出了这篇入门讲解的范围。

03 边角配对比字母的位置更重要

按照原刊约定，大写A、B、C表示顶点内角，小写a、b、c表示各自对边的角长度。a位于B与C之间，对着顶点A。它可以写成球心处两条半径OB与OC之间的夹角；A则是顶点A处两条大圆弧切线之间的内角。两者都用角度表达，但位置和含义不同。

因此，球面三角形的六个量全是角量，并不等于它只有一种角。内角由相邻大圆在顶点处相交形成，角边由端点方向在球心处张成。看图时应顺着顶点去找对边，不能靠“左边就是a”这样的页面位置记忆。图形旋转以后，配对关系不会改变。

图1的例子尤其直观：三个顶点分别沿三条互相垂直的方向设置，它们之间的短弧都是四分之一大圆，三个内角也都是90°，角和为270°。这不违背平面三角形角和180°的结论，因为这里的边沿球面弯曲，内角在各自顶点的切平面上度量。

本文重绘配图时始终保持同一配对。后文讨论直角情形，将直角固定记为C，它的对边固定记为c。这样，图、公式与算例使用同一套符号，读者无需在不同段落里猜测字母是否已经换了含义。

表1 本文使用的几何量

符号	几何含义	量的类别
a b c	各自对边的大圆圆心角	角量
A B C	各顶点处的球面内角	角量
R 与 s	球半径与大圆弧长	长度量

04 三条基本定律各自连接哪些量

球面正弦定律把三组边角配对联系起来。与平面正弦定律相比，它的分子是角边的正弦，而不是一个以米表示的长度。这一变化正来自单位球的几何定义，不能为了让表达“看起来像熟悉的公式”，把分子上的sin省略。

边的余弦定律适合观察两条边及其夹角如何确定对边。例如，b与c在顶点A相遇，右侧出现的就是角A，左侧对应a。它对称地包含b与c，但并不允许随意把A换成B；一旦换字母，整组边角关系都必须一起循环调整。

角的余弦定律则把两内角、第三条角边与另一内角关联起来。其第一项带负号。原刊这三条基本公式本身与教材一致，本文保留原来的a与A配对，只把变量含义与使用条件补在公式旁。[1][2]

记忆三条定律时，可以先问已知量位于图上哪里，再选择关系。正弦定律便于连接对边与对角；两类余弦定律分别突出角边和内角。它们不保证任何随意给定的三个数字都能拼成有效三角形，输入本身仍须符合几何条件。

$\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}$

球面正弦定律。a、b、c是角边，A、B、C是各自相对的内角；所有三角函数使用同一种角度单位。此处讨论非退化三角形，分母不取零。

$\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,\\\cos A&=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.\end{aligned}$

上式为边的余弦定律，下式为角的余弦定律。对a、b、c与A、B、C同步作循环置换，可得到其余对应关系；不能只换一个字母而保留其余符号。

05 原刊平面公式组需要修正一行

第42页在列完球面定律之后，转而与平面三角形比较，却又重复列出了带cos a项的球面角余弦定律。把这一行当作平面公式会出问题：平面情形的a通常是长度，不能把一个未作无量纲化的长度直接送入余弦函数。它应保留在球面公式组中。

对于平面三角形，由A与B、C的和为180°，可直接得到下面第一式。它没有cos a因子。平面边的余弦定律则写成第二式；本文特意用ℓ下标标明线性边长，避免与前文小写字母表示的角边混淆。

球面公式与平面公式并非毫无联系。当三条角边都很小，且统一用弧度表示时，展开正弦与余弦并保留相应低阶项，球面边余弦定律会趋近平面关系。这里近似变小的是角边，不是简单看一个以千米表示的距离数字是否“很小”。

小角近似还要看允许的误差。本文后面的30°和40°只是便于复核的数学例子，并不属于可以毫不检查就忽略球面曲率的情形。球面结果与平面近似的差异，正好可以用来提醒我们，两种模型之间有适用范围。

$\begin{aligned}\cos A&=-\cos B\cos C+\sin B\sin C,\\\ell_a^2&=\ell_b^2+\ell_c^2-2\ell_b\ell_c\cos A.\end{aligned}$

这两式仅用于平面三角形。第一式使用A+B+C=180°；第二式中ℓ的a、b、c下标对应三条同单位的线性边长，A为后两边之间的夹角。它们不是球面三角形的直接替代式。

06 直角条件简化了关系而没有消除曲率

现在令球面内角C为90°。这个条件说的是两条大圆弧在顶点C正交，并没有说对边c也等于90°。把大写与小写混淆，是使用直角球面三角公式时最容易发生的错误之一。

将一般边余弦定律循环写到c，再代入cos C为零，就得到cos c等于cos a与cos b的乘积。它承担的角色与平面直角三角形中的勾股关系相似，但形式和变量不同，不能把c直接写成a平方与b平方之和的平方根。

同时，由球面正弦定律及sin C为1，可得到a与A、c之间的关系；交换a与b，又得到另一组。这些式子是从前面的通式推出来的，并不是额外加入一种物理规律。每个简化步骤都能指出，是哪个90°条件使某一项消失。

直角也不保证其余两内角之和等于90°。那是平面角和定理带来的结论，不能随直角符号一起搬到球面。保持几何对象一致，比多背一条简化公式更重要。

$C=90^\circ:\qquad\begin{aligned}\cos c&=\cos a\cos b,\\\sin a&=\sin A\sin c,\\\sin b&=\sin B\sin c.\end{aligned}$

a、b是直角C两侧的角边，c是直角C的对边；A、B仍分别与a、b相对。第一式和下面两式可共同复核同一个直角球面三角形。

07 Napier五部圆把余角放进了记忆顺序

图2 编辑依据原刊第42页图4重新绘制的Napier五部圆。约定C为直角，圆中依次包含a、b、90°−A、90°−c、90°−B；旋转或整体反向绘制不改变相邻与相对关系。

直角三角形原来有六个量，固定C为90°之后，剩下五个量需要联系。Napier规则将它们组织为五部圆，但放进圆盘的并非原样的a、b、A、B、c，而是a、b以及另外三个量的余角。余角的意思是90°减去原角，这一点应在使用规则之前处理好。

原刊图4用co-A、co-B、co-c作简写。若把co只当作装饰性前缀，就很容易少变换一个三角函数。本文直接在图中写出90°减去该量，再利用余角恒等式把结果化简。这样既能读懂原刊，也能看清余弦、余切究竟从哪里来。

圆盘上选中的任意一部称为中间项，两侧紧邻的是相邻两部，剩下两部是相对两部。Napier的两条规则分别说：中间项的正弦，等于相邻两部正切的乘积；也等于相对两部余弦的乘积。这里的“中间”不是圆心，而是被选中的扇区。

以a为中间项，相邻两部为b与90°−B，于是出现tan b与cot B；相对两部为90°−A与90°−c，于是出现sin A与sin c。再把中间项换成90°−A或90°−c，就能得到原刊列出的另外两条示例。每一步都只是把圆盘中的量代入同一规则。

五部圆的意义在于减少记忆负担，不能取代直角前提。如果原问题没有直角，仅仅因为图形在纸面上看着像直角，就不能套用它。即使原问题可以分成若干直角三角形，也要分别交代各自的顶点与对边符号，不能沿用一套未作区分的字母。

$\begin{aligned}\sin a&=\tan b\cot B=\sin A\sin c,\\\cos A&=\cot c\tan b,\qquad \cos c=\cos a\cos b.\end{aligned}$

这些式子与原刊Napier示例一致，统一假定C=90°。含tan或cot的形式还要求相应函数有定义；遇到特殊极限情形，应回到不含该除法的一般定律检查，不能直接进行零除。

08 用一个几何算例检查全部配对

下面的数值由编辑选择，仅用于数学复核。取直角C为90°，相邻角边a为30°、b为40°。先用直角余弦关系求c，再结合一般角边关系确定A和B。计算中保留未舍入的中间结果，最终才按小数位显示。

求得的c约48.439237°，A约41.930105°，B约59.210267°，三个内角之和约191.140372°。如果误用平面勾股关系，把30和40当作直角边数值，会得到50；这个差异来自模型，并非小数显示造成的舍入误差。

还可以把所得角度代回四条Napier示例。它们分别连接不同位置的量，因此能帮助发现字母放错、余角漏换等问题。本例以普通双精度计算检查，四式两边之差的绝对值均小于10的负15次方。这个数字只是计算一致性的记录，不是现实测量精度或设备误差。

$\begin{aligned}a&=30^\circ,\quad b=40^\circ,\quad C=90^\circ,\\c&=\arccos(\cos30^\circ\cos40^\circ)\approx48.439237^\circ,\\A&\approx41.930105^\circ,\qquad B\approx59.210267^\circ.\end{aligned}$

计算取通常凸球面三角形的角度范围。A、B通过带余弦符号信息的关系确定，并用正弦定律和Napier关系代回检查；未仅凭反正弦的一个主值选择分支。

09 反函数输出还需要回到几何图上

正弦值不能单独确定一个0到180度范围内的角。30°与150°具有相同正弦，因此从正弦定律得到一个数后，按下反正弦键所返回的主值，不一定就是图中需要的角。应当结合其他关系中的余弦符号、原图约束和已知量选择，不能由软件默认值代替几何判断。

角度单位同样要从头到尾一致。原文用度数叙述，不代表任何计算环境都会按度数解释输入。本文的数值复核先把度数转换为弧度，再调用三角函数，最后转回度数显示。若一个函数接收弧度，直接送入数字30，计算的就是30弧度，而不是30度。

接近退化情形时，还要留意公式中的分母。两个顶点靠得很近，或某些角接近零与180°，相应正弦可能很小；原本等价的代数形式，在有限精度计算中不一定表现相同。这是数学计算的限制，不能靠多显示几位小数消除。

余弦理论上位于负1到1之间。若计算结果明显越界，应先检查单位、输入和公式；只有确认属于极小的浮点舍入偏差时，才谈得上处理数值边界。无条件把所有越界数都压回区间，会把模型或录入错误隐藏在一个看似正常的角度后面。

10 从基础角关系走到实际问题还缺哪些定义

原刊结尾说，下一期将把这些公式用于具体卫星相关几何。这个安排体现了本篇的边界：先定义单位球和三角关系，再引入实际位置与参考系。基础公式告诉我们角与角怎样联系，却不会自动提供地面点位置、卫星位置、时刻和观测者坐标系。

例如，从地心到两个位置的方向关系，与从其中一个位置观察另一位置的方向关系，是不同的几何问题。前者常能放进地心单位球，后者还涉及空间中的相对位置。它们可以在完整模型里关联，但不能凭同一个“角”字就直接相等。

若把真实地球近似为球体，还应记得球体是模型假设。单位球适合解释方向和基本关系；需要怎样的地球形状、参考系和位置精度，取决于后续具体问题。本文不添加原刊未给出的现实轨道或观测数据，避免让一个数学算例冒充实际应用验证。

先把球面上的量认清

球面三角学的第一步，是承认这里的“边”也是角量；第二步，是确认三条边都沿大圆；第三步，才是按已知量选择公式。直角与Napier规则能够减少计算，却不改变这些前提。把小写与大写、度与弧度、球心角与顶点角各自放回正确位置，这组公式就能从记忆负担变成一套可以检查的几何语言。

资料来源与说明

[1] Dave Adamy. Space EW (Part 2) – Spherical Trigonometry. JED，2025年7月，第41—42页。

[2] J. B. Tatum. Celestial Mechanics，第3章Plane and Spherical Trigonometry，第3.5节，维多利亚大学作者讲义。

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