每日精学 014｜Wiener Khinchin 定理与功率谱密度

2026-09-25

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自相关描述样本在不同时延上的相似程度，功率谱描述平均功率如何分布在频率上。二者不是两套独立指标，而是同一二阶统计结构的时域和频域表示。该关系使频域噪声整形能够通过时域滤波模型计算。

有限数据只能估计有限个相关时延。直接截断相关函数会改变功率谱，甚至因估计误差产生负值，因此需要区分理论变换对、有限样本估计和数值显示。

01
模型与符号

R_x[m]：宽平稳过程自相关（样本单位平方）

S_x(e^jω)：离散时间功率谱密度（样本单位平方每弧度）

ω：离散角频率（rad/sample）

a：AR(1) 系数（绝对值小于 1）

σ_v²：驱动白噪声方差（样本单位平方）

M：保留的最大相关时延（非负整数）

W_M(ω)：时延窗的频率响应（无量纲）

02
相关与功率谱变换对

在自相关绝对可和时，定义

$S_x(e^{\mathrm{j}\omega})=\sum_{m=-\infty}^{\infty} R_x[m]e^{-\mathrm{j}\omega m}.$

反变换为

$R_x[m]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} S_x(e^{\mathrm{j}\omega})e^{\mathrm{j}\omega m}\,\mathrm{d}\omega.$

令 m=0，得到谱面积等于平均功率。

Hermitian 对称的自相关产生实值功率谱，相关矩阵半正定保证功率谱非负。

03
线性滤波下的功率谱

若宽平稳输入通过稳定 LTI 系统 h[n]，输出 y[n]=h[n]*x[n] 的功率谱为

$S_y(e^{\mathrm{j}\omega})=|H(e^{\mathrm{j}\omega})|^2 S_x(e^{\mathrm{j}\omega}).$

对白噪声 S_x=σ_x²，输出相关函数为滤波器自相关的缩放。

该式说明频率响应的幅度平方决定噪声功率的频率分配，相位不直接改变输出 PSD。

04
AR 一阶过程功率谱

AR(1) 传递函数为 H(z)=1/(1−az⁻¹)，故

$S_x(e^{\mathrm{j}\omega})= \frac{\sigma_v^2}{1+a^2-2a\cos\omega}.$

另一方面，把

$R_x[m]=\sigma_x^2a^{|m|}$

分成正负时延几何级数，也得到相同闭式结果。

若只保留 |m|≤ M，则

$\widehat S_M(e^{\mathrm{j}\omega})= \sum_{m=-M}^{M}R_x[m]e^{-\mathrm{j}\omega m},$

等价于真实功率谱与时延窗频响的周期卷积。

05
物理含义

相关衰减慢意味着功率谱集中；相关只在零时延非零意味着功率谱平坦。AR 系数为正且接近 1 时，分母在零频率附近很小，过程表现为低通着色噪声。谱面积约束提供重要的归一化检查：任何 PSD 曲线在完整 2π 周期上的平均值都必须回到 R_x[0]。

06
固定参数算例

采用 a=0.8、σ_v²=0.36，理论稳态功率为 1。计算闭式 PSD，并用 |m|≤80 的理论相关序列离散傅里叶变换重建；

同时展示 M=5 截断造成的谱平滑与波纹。数值积分用于验证谱面积，直流与 Nyquist 值分别与闭式表达式比较。

独立双精度参考计算结果

量	数值
AR 系数	0.8
驱动噪声方差	0.36
平稳方差	1
直流处功率谱密度	9
Nyquist 频率处功率谱密度	0.111111111111
功率谱积分	1
max relative error lag80	1.57053058953e-08
min truncated lag5 psd	-0.189021268682

图 1　AR 一阶过程闭式功率谱相关变换重建谱面积与时延截断影响

图表保留原报告的独立双精度参考结果。本次补充运行同参数 MATLAB 脚本并通过数值断言；随机算例比较统计关系，参考程序与 MATLAB 的随机样本不作逐点相同的假设。相关序列截断至 |m|≤80 时，遗漏尾项的绝对误差上界为 2|a|⁸¹/(1−|a|)。验证容差采用该解析上界加浮点舍入余量，不能把有限截断误差要求为零。

07
数字实现的边界

模块 psd_two_bin_from_acf.sv 接收 r[0]、r[1] 和 r[2] 的定点整数表示，利用实偶对称性计算

与

$S(\pi)=r[0]-2r[1]+2r[2]$

该模块展示相关域到频域的确定性线性组合，不承担相关估计、负值钳位或一般 FFT。testbench 以白噪声、正相关和负相关三组系数核对符号扩展。

RTL 只实现本课中可明确量化的确定性数据通路或控制功能。概率分布拟合、浮点函数求值和图形生成留在 MATLAB 参考程序中，防止把软件统计功能误认为可综合硬件。

08
适用范围

Wiener–Khinchin 关系用于噪声整形分析、振荡器相位噪声表征、接收机滤波后噪声预算和基于相关函数的谱估计。工程实现应记录采用的时延窗、最大时延、频率采样间隔和谱面积归一化。

09
工程上需要注意

有限时延截断相当于频域平滑，窄谱线会被展宽。
样本相关估计的误差可能使直接变换结果在局部出现负值。
含确定性均值时应先去均值，否则零频率包含冲激谱线。
非平稳过程不能由单一全局自相关和 PSD 完整描述。

Wiener–Khinchin 定理把自相关与功率谱密度组成傅里叶变换对，零时延相关等于全频带谱面积。LTI 系统以 |H|² 对输入 PSD 加权。AR(1) 的闭式功率谱展示了时域记忆与频域集中的对应关系，有限时延截断则引入可预测的谱平滑。

内容依据：每日精学第 14 课《Wiener Khinchin 定理与功率谱密度》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 014｜Wiener Khinchin 定理与功率谱密度

01模型与符号

02相关与功率谱变换对

03线性滤波下的功率谱

04AR 一阶过程功率谱

05物理含义

06固定参数算例

07数字实现的边界

08适用范围

09工程上需要注意