每日精学 018｜二元高斯检测与最优判决门限

2026-09-25

雷达 · 通信 · 电子战　/　基础精学 018

门限比较器本身只产生二元输出，判决是否合理取决于两种假设下的概率模型。似然比比较每个观测在两种假设下出现的相对可能性，并把先验概率与错误代价纳入同一准则。

等方差高斯均值偏移模型是许多相关器或匹配滤波器输出的基础近似。它提供闭式门限和概率，适合解释虚警、漏检和积累增益之间的关系。

01
模型与符号

$\mathcal H_0$ ：无确定信号（假设）

$\mathcal H_1$ ：存在幅度 A 的信号（假设）

Y：高斯判决统计量（观测单位）

A：两假设均值差（观测单位）

σ：共同标准差（观测单位）

η：似然比门限（正数）

γ：等价幅度门限（观测单位）

P_fa,P_d：虚警概率与检测概率（至 1）

02
似然比判决

似然比定义为

$\Lambda(y)=\frac{p(y|\mathcal H_1)}{p(y|\mathcal H_0)}.$

Bayes 准则在满足相应损失定义时比较 Λ(y) 与

$\eta=\frac{\pi_0(C_{10}-C_{00})}{\pi_1(C_{01}-C_{11})},$

其中 π_i 为先验概率，C_ji 表示真实假设为 i 而判为 j 的代价。

03
等方差高斯门限

代入两个高斯密度并取对数：

$\ln\Lambda(y)=\frac{A}{\sigma^2}y-\frac{A^2}{2\sigma^2}.$

当 A>0 时，判决等价于 y>γ，其中

$\gamma=\frac{A}{2}+\frac{\sigma^2}{A}\ln\eta.$

等先验和等错误代价给出 η=1 与 γ=A/2。

04
判决概率与积累

给定幅度门限，概率为

$P_{\mathrm{fa}}=Q\!\left(\frac{\gamma}{\sigma}\right),\qquad P_d=Q\!\left(\frac{\gamma-A}{\sigma}\right).$

若对 M 个独立观测求和

$T=\sum_mY_m$

则两假设均值差为 MA，共同标准差为

$\sqrt M\sigma$

可分辨度变为

$d'_M=\frac{\sqrt M A}{\sigma}.$

05
物理含义

似然比把幅度观测转换为证据强度。先验和代价只移动门限，不改变两种分布本身。提高门限会同时降低虚警和检测，积累独立样本则把两分布的均值间距相对于标准差放大。只有在样本相位或符号已对齐时，直接有符号求和才是相干积累。

06
固定参数算例

取 A=2、σ=1、等先验和等错误代价，门限为 1。理论上

$P_{\mathrm{fa}}=Q(1)$

P_d=Q(−1)，总错误概率为 Q(1)。

固定随机种子的两组样本用于估计混淆矩阵；另比较 M=1,4,16 时等错误门限下的分布分离程度。

独立双精度参考计算结果

量	数值
mean shift amplitude	2
噪声标准差	1
equal cost threshold	1
theoretical pfa	0.158655253931
empirical pfa	0.158617142857
theoretical pd	0.841344746069
empirical pd	0.840085714286
equal error probability	0.158655253931
dprime M8	5.65685424949
sample count per hypothesis	350000

图 1　二元高斯密度最优门限混淆概率与多样本积累增益

图表保留原报告的独立双精度参考结果。本次补充运行同参数 MATLAB 脚本并通过数值断言；随机算例比较统计关系，参考程序与 MATLAB 的随机样本不作逐点相同的假设。

07
数字实现的边界

模块 coherent_sum_detector8.sv 对八个连续有符号观测扩位累加，并在第八个样本到达时与可编程总和门限比较。模块输出判决和有效脉冲，之后清空累加器。testbench 检查门限上下、负值抵消、最大输入、连续批次和复位中断。

RTL 只实现本课中可明确量化的确定性数据通路或控制功能。概率分布拟合、浮点函数求值和图形生成留在 MATLAB 参考程序中，防止把软件统计功能误认为可综合硬件。

08
适用范围

该模型适用于已知符号训练序列的相关输出、重复测量的相干积累和单维充分统计量判决。系统设计需要先确定观测标度、噪声方差、先验概率和错误代价，再把门限量化到硬件格式。

09
工程上需要注意

两假设方差不等时，对数似然比成为二次函数，判决区域可能不再是单门限。
信号幅度或相位未知时，需要估计、边缘化或构造广义似然比。
相关样本的积累方差包含协方差项，不能直接使用 $\sqrt M$ 增益。
硬件饱和、截断和门限量化会改变实际错误概率。

等方差高斯二元检测的对数似然比对观测呈线性，因此最优判决化为单门限比较。门限由均值差、噪声方差、先验和代价决定，P_fa 与 P_d 可直接用 Q 函数表示。独立相干积累把可分辨度提高为原来的 $\sqrt M$ 倍。

内容依据：每日精学第 18 课《二元高斯检测与最优判决门限》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 018｜二元高斯检测与最优判决门限

01模型与符号

02似然比判决

03等方差高斯门限

04判决概率与积累

05物理含义

06固定参数算例

07数字实现的边界

08适用范围

09工程上需要注意