每日精学 021｜QPSK 星座 Gray 映射与误码率
雷达 · 通信 · 电子战 / 基础精学 021
复基带表示把载波幅度和相位压缩为一个复数样本。与一次只发送一个比特的 BPSK 相比，QPSK 在相同符号率下传输两倍比特数，同时仍可用两条过原点的判决边界完成硬判决。
星座标签决定符号错误如何转化为比特错误。Gray 标记不能改变欧氏距离，却能让最常见的最近邻符号错误只造成一个比特翻转，因此误码率分析必须同时说明几何位置和比特标签。
01
模型与符号
bI,bQ：同相与正交支路信息比特（比特）
s：归一化 QPSK 符号（复幅度）
Es：平均符号能量（焦耳）
Eb：平均比特能量且 Es=2Eb（焦耳）
N0：双边噪声功率谱密度参数（焦耳）
Pb：平均比特错误概率（至 1）
Ps：平均符号错误概率（至 1）
02
星座映射与归一化
令 aI=1−2bI、aQ=1−2bQ，归一化符号写为
四个符号具有相同能量 Es。
把两个标签位分别交给 I 与 Q 的符号，绕星座相邻点观察时得到 Gray 次序。
03
AWGN 判决
接收样本为 r=s+n，其中复噪声两维方差均为 N0/2。最大似然判决等价于
每一维的信号幅度与噪声标准差之比均为
04
误码率与符号错误率
相干 Gray QPSK 的比特误码率为
两维错误独立时
该结论以理想载波同步和准确噪声标定为前提。
05
物理含义
QPSK 的两个坐标不是两个不同载波，而是同一载波上相差九十度的两个正交基函数。归一化因子保证比较不同调制方式时使用相同的符号能量。误码率横轴若采用 Es/N0，需要先减去 10log102 才能与按 Eb/N0 给出的曲线比较。
06
固定参数算例
验证在 0 至 10 dB 的 Eb/N0 上生成等概率比特，完成 Gray 映射、复高斯噪声叠加和符号硬判决。每个信噪比点使用同一规模但独立的噪声样本；理论曲线、经验误码率、带噪星座和各象限错误计数同时绘制。
| 量 | 数值 |
|---|---|
| 每符号比特数 | 2 |
| simulation bit count per snr | 240000 |
| ebn0 reference db | 6 |
| theoretical ber at 6 db | 0.00238829078093 |
| simulated ber at 6 db | 0.00231666666667 |
| theoretical ser at 6 db | 0.00477087762901 |
| simulated ser at 6 db | 0.004625 |
图 1 QPSK Gray 星座 带噪样本 理论误码率与蒙特卡洛结果
图表保留原报告的独立双精度参考结果。本次补充运行同参数 MATLAB 脚本并通过数值断言；随机算例比较统计关系，参考程序与 MATLAB 的随机样本不作逐点相同的假设。
07
数字实现的边界
模块 qpsk_gray_mapper.sv 在有效周期读取两位标签，并输出幅度为 ± A 的二补码 I Q 样本。映射只包含符号选择，不包含脉冲成形、载波旋转或数模转换。testbench 枚举四个标签并检查无效周期输出。
RTL 只实现本课中可明确量化的确定性数据通路或控制功能。概率分布拟合、浮点函数求值和图形生成留在 MATLAB 参考程序中，防止把软件统计功能误认为可综合硬件。
08
适用范围
该模型适用于线性放大、相干接收且符号间干扰可忽略的 QPSK 链路。仿真曲线可用于检查噪声方差、能量归一化和比特顺序；硬件映射器可接入后续脉冲成形滤波器。
09
工程上需要注意
载波频偏和相位误差会旋转星座并破坏固定象限判决。
脉冲成形与定时误差会引入符号间干扰，单样本模型不再充分。
差分编码或非相干检测具有不同的误码率表达式。
定点饱和和 I Q 增益不平衡会改变实际判决距离。
Gray QPSK 可分解为两条正交 BPSK 支路。在理想相干 AWGN 条件下，其比特误码率与 BPSK 相同，符号能量则是比特能量的两倍。正确的能量归一化和标签顺序是复现实验曲线的关键。
内容依据：每日精学第 21 课《QPSK 星座 Gray 映射与误码率》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。