每日精学 023｜根升余弦脉冲成形与匹配滤波

2026-09-25

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实际链路通常不把完整升余弦响应只放在发送端，因为接收机还需要匹配滤波以抑制带外噪声。根升余弦分解让发射频谱和接收噪声带宽都保持受控。

离散 FIR 必须截断无限长脉冲，因此滤波器跨度、每符号采样数和系数量化共同决定残余码间干扰。发送端与接收端的群时延还必须在帧同步中补偿。

01
模型与符号

g(t)：根升余弦冲激响应（幅度）

p(t)：级联响应 g(t)*g^*(−t)（幅度）

α：滚降系数（至 1）

L：过采样倍数（采样点每符号）

S：单侧滤波器跨度（符号）

D：单个 FIR 群时延（采样点）

02
根升余弦分解

若升余弦频谱为 P_RC(f)，可选择

$G_{\mathrm{tx}}(f)=G_{\mathrm{rx}}(f)=\sqrt{P_{\mathrm{RC}}(f)}.$

接收滤波器取发送脉冲的共轭时间反转，故抽样时刻的输出信噪比达到匹配滤波上界。

03
离散冲激响应

令 x=t/T，根升余弦脉冲可写为

$g(x)=\frac{\sin[\pi x(1-\alpha)]+4\alpha x\cos[\pi x(1+\alpha)]} {\pi x[1-(4\alpha x)^2]}.$

在 x=0 与 x=±1/(4α) 处使用解析极限。

离散系数按总能量归一化。

04
有限长度与总时延

跨度为 2S 个符号且每符号 L 点时，抽头数为 2SL+1，单个线性相位 FIR 的群时延为

发送与接收级联总时延为 2D。在该中心附近每隔 L 点抽样，可测得中心增益和残余旁样本。

05
物理含义

发送根升余弦限制占用带宽，接收根升余弦积累整个符号脉冲能量并抑制带外噪声。眼图中心的垂直开口反映噪声裕量，水平开口反映定时裕量。有限跨度越短，级联旁样本通常越大。

06
固定参数算例

验证取 α=0.35、每符号八点、单侧跨度四个符号。程序生成并归一化 65 抽头根升余弦系数，卷积得到级联响应，报告最大非中心符号抽样幅度，并用随机 BPSK 符号绘制发送波形和匹配滤波眼图。

独立双精度参考计算结果

量	数值
滚降系数	0.35
每符号样本数	8
one sided span symbols	4
抽头数	65
single filter group delay samples	32
抽头能量	1
级联中心增益	1
maximum symbol sample residual	0.0104911024793

图 1　根升余弦系数级联响应频谱与匹配滤波眼图

图表保留原报告的独立双精度参考结果。本次补充运行同参数 MATLAB 脚本并通过数值断言；随机算例比较统计关系，参考程序与 MATLAB 的随机样本不作逐点相同的假设。

07
数字实现的边界

模块 rrc_fir9.sv 使用固定对称整数系数实现短 FIR 示例，乘法结果扩位累加后按参数移位输出。该模块用于演示对称抽头和流水有效信号，不替代报告数值试验中的 65 抽头设计。testbench 用冲激输入核对九个输出系数及复位。

RTL 只实现本课中可明确量化的确定性数据通路或控制功能。概率分布拟合、浮点函数求值和图形生成留在 MATLAB 参考程序中，防止把软件统计功能误认为可综合硬件。

08
适用范围

根升余弦适用于线性调制的发送成形和接收匹配滤波。工程实现需根据频谱掩模、可容许码间干扰、时钟频率和乘法器资源选择跨度、过采样率及定点字长。

09
工程上需要注意

收发滚降系数或采样率不一致会破坏理想级联响应。
载波偏差会在匹配滤波窗口内产生相位旋转和能量损失。
系数量化及累加器截位会抬高残余码间干扰。
匹配滤波不能消除信道多径，需要联合均衡。

根升余弦把升余弦总响应等分到发送端与接收端。有限长离散实现的抽头数为 2SL+1，单端群时延为 SL 点；级联抽样旁瓣可直接量化残余码间干扰。

内容依据：每日精学第 23 课《根升余弦脉冲成形与匹配滤波》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 023｜根升余弦脉冲成形与匹配滤波

01模型与符号

02根升余弦分解

03离散冲激响应

04有限长度与总时延

05物理含义

06固定参数算例

07数字实现的边界

08适用范围

09工程上需要注意