书籍阅读 08-00｜读《雷达信号》：把波形、匹配滤波和模糊函数接起来

2026-10-03

读《雷达信号》：把波形、匹配滤波和模糊函数接起来

雷达信号 · 全书导读

Nadav Levanon、Eli Mozeson的《Radar Signals》（2004）围绕雷达波形的构造、匹配响应和失配特性展开。全书11章的共同问题，是在有限时间、带宽和硬件条件下，怎样分配时延与多普勒分辨能力。单独比较零多普勒压缩曲线，会遗漏运动目标的响应变化。

全书结构与阅读路线

阅读主线可以按“匹配滤波—模糊函数—具体波形—失配与折中”组织。连续调频、相位编码和脉冲序列具有不同的响应结构，比较时应统一能量归一化、时间带宽条件和旁瓣定义。下面保留一个模糊函数专题作为技术入口，配套11篇则分别对应各章主题。

专题示例：脉压峰值很尖，为什么还不够？重读《雷达信号》

评价一个波形，最容易被记住的是那张脉冲压缩图：中间一个尖峰，两侧一排旁瓣。峰越尖、旁瓣越低，看上去就越好。

问题是，这张图通常只展示了一种匹配条件。接收信号带有频移时，峰可能变矮，也可能移动；换一种加权，旁瓣降下去了，主瓣又会变宽。只挑最好看的一条曲线，难免遗漏关键条件。

Nadav Levanon与Eli Mozeson的《Radar Signals》把这些问题放在同一框架中讨论。书名只有两个词，内容却不会停留在波形名录。顺着匹配滤波和模糊函数读下去，能看见每一张漂亮响应图背后的约束。

一条切面，装不下两种失配

采用下面的时移与频移约定：

$\chi(\tau,\nu)=\int s(t)s^*(t-\tau)e^{-j2\pi\nu t}\,dt.$

τ为时延失配，ν为频移失配。信号能量为E=∫|s(t)|²dt，所以χ(0,0)=E。把幅度除以E后，原点响应为1。

固定ν=0，得到的是自相关切面；固定一个非零频移，则是在问同一滤波器面对另一种接收条件时会产生什么响应。它们来自同一张二维曲面，但不能相互替代。

图中的线性调频信号就有一条倾斜的高响应区。只沿横轴截取一条曲线，会把这种耦合关系藏起来。阅读不同文献时，还应核对时移和复指数的符号，否则同一种物理关系可能被画成不同方向的斜线。

$单位时宽、调频斜率为8的归一化LFM模糊函数。颜色统一表示 | χ | / E |\chi|/E ，未对每条切面单独归一化。$ 单位时宽、调频斜率为8的归一化LFM模糊函数。颜色统一表示|χ|/E，未对每条切面单独归一化。

斜脊的来处，可以从重叠积分直接看见

令信号在[−T/2,T/2]内为

$s(t)=A e^{j\pi\mu t^2},$

区间外为零。两个相移窗口只有在|τ|<T时重叠，重叠长度是L_τ=T−|τ|。把两个二次相位相减：

$\pi\mu t^2-\pi\mu(t-\tau)^2 =2\pi\mu\tau t-\pi\mu\tau^2.$

积分中与t有关的剩余频率便是μτ−ν。因此

$|\chi(\tau,\nu)|= |A|^2L_\tau \left|\operatorname{sinc}\big[(\nu-\mu\tau)L_\tau\big]\right|.$

高响应区沿ν≈μτ展开，来自剩余频率接近零；同时，前面的L_τ会随着偏移而缩短。两个因素都在影响切面峰值。

这也解释了一个容易被简化掉的细节：τ=ν/μ让sinc的自变量为零，却不一定是整个乘积的精确最大点。取T=1,μ=8,ν=2，数值最大点约在τ=0.2394，而ν/μ=0.25。两者接近，但不是同一个答案。

把近似当成近似，就能保留它的直观意义；把它写成无条件等式，则会掩盖有限窗口的作用。

不同频移下的完整时延切面。峰位与峰高共同变化，计算同时保留了sinc项和有限重叠长度。

压低旁瓣之前，先把接收权重写出来

旁瓣比较经常从两条归一化曲线开始。更清楚的起点，是先看频谱上改变了什么。

考虑一个理想化的平坦带内信号，带宽为B。在|f|≤B/2内，比较矩形权重与Hann权重：

$W_R(f)=1,\qquad W_H(f)=\frac12\left[1+\cos\left(\frac{2\pi f}{B}\right)\right].$

带外权重均为零。Hann权重在中心为1，在两侧逐渐降到零。它减轻了带边的突变，也减少了两端频率分量对输出的贡献。

把频域乘法换回时域，得到的响应自然会改变。这个过程不是在原响应上把几个旁瓣单独按下去，而是重新组合整段频谱。因此，主瓣、旁瓣与噪声输出应当一起评价。

这里比较的是固定发射信号下的接收权重。若连发射波形也一起改变，能量和匹配关系需要重新写过，不能直接沿用下面的噪声结论。

还有一个很实际的区别：两条响应若分别除以各自峰值，图上中央峰都会变成1。这样便于比较形状，却把绝对输出幅度信息去掉了。旁瓣图能够说明相对高度，不能单独说明系统增益。

同一带宽内的两种接收权重。图上保留原始权重幅度，便于观察频谱边缘贡献的变化。

旁瓣低了十八分贝，代价在哪里

令u=Bτ，对上一页的权重作逆变换，再分别按零时延峰值归一化，可得

$r_R(u)=\operatorname{sinc}(u),$

$r_H(u)=\operatorname{sinc}(u) +\frac12\big[\operatorname{sinc}(u-1)+\operatorname{sinc}(u+1)\big].$

矩形权重响应的首零点位于±1，Hann响应的首零点位于±2。按各自首零点以外定义旁瓣区，峰值旁瓣约为−13.26dB和−31.47dB。Hann的旁瓣低了约18 dB，首零点主瓣宽度则变成两倍。

白噪声下，同一个平坦带内信号经过权重W后的相对信噪比效率为

$\eta=\frac{|\int W(f)\,df|^2} {B\int|W(f)|^2\,df}.$

Hann权重的两个积分分别为B/2与3B/8，故η=2/3，约有1.76 dB的信噪比损失。这里的效率来自明确的频谱与噪声模型，不能机械套到任意实际波形上。

这几项变化并不互相矛盾。旁瓣更低、主瓣更宽、白噪声下的输出信噪比有所下降，可以同时成立。选择哪一种权重，需要先说明最关心的量。

两种权重响应的对数幅度。中央峰各自归一化为0 dB；图中的低旁瓣不能用来推断绝对输出增益。

一个“更好”的指标，往往只回答了半个问题

旁瓣不是一个没有边界的词。设主瓣区域为Ω_m，旁瓣区域为Ω_s，峰值旁瓣比可以定义为

$\mathrm{PSLR}=20\log_{10} \frac{\max_{\tau\in\Omega_s}|y(\tau)|} {\max_{\tau\in\Omega_m}|y(\tau)|}.$

若将一部分原先计入旁瓣的区域改划为主瓣，最后的数字就可能改善。因此，报告旁瓣指标时，需要给出主瓣边界。拿固定宽度排除区和首零点排除区得到的数值直接排名，并不公平。

积分旁瓣比又是另一个问题。它比较区域内的能量积分，而不是最高的单个点。少数较高旁瓣与大量较低旁瓣，可能在峰值指标和积分指标上得到不同排序。只保留一个分贝数，会把这种差异抹掉。

模糊函数还提供了一个整体约束。按这里的傅里叶约定，对有限能量信号有

$\iint|\chi(\tau,\nu)|^2\,d\tau\,d\nu=E^2.$

固定能量后，这个二维积分不会因为换了一种波形就消失。某一小片区域中的响应降低了，需要看看能量如何分布到其他区域。它不能被简单理解为“任何一处变好，另一处必然以同样幅度变坏”，但足以提醒读者：局部截面并没有展示全部代价。

还有一组经常混用的量，是估计精度与分辨能力。已知只有一个响应时，可以利用整条波形去估计它的连续时延；若同时存在两个相近响应，参数数量、幅度关系和可辨识性都发生了变化。单响应的误差小于主瓣宽度，并不能自动证明两个响应能按同样间隔分开。

比较波形之前，应当把问题写具体。是在固定能量下比较时延响应，还是在固定峰值功率下比较不同持续时间？关心零频移切面，还是一段频移范围？响应是匹配输出，还是经过额外加权？这些条件写清楚后，数字才能互相说明；条件不齐，排名通常只是在比较不同实验。

噪声条件也不宜留到最后才补一句。白噪声模型下成立的匹配结论，遇到有色噪声时需要重新处理噪声协方差或频谱。曲线形状再漂亮，也不能越过模型假设直接变成“最优”。

读《雷达信号》，不要急着翻到波形名称那一页

这本书适合反复回读前几章。第1章先区分精度、分辨率与模糊，第2章从匹配滤波进入响应分析，第3章把时延与频移放在同一张图上，第4章再讨论具体调频波形及相关加权。这样的顺序，使后续波形比较有了共同语言。

初读时，可以先挑一个表达式容易计算的有限时长信号，固定能量归一化，检查原点响应是否等于1。随后分别画零频移切面、一个非零频移切面与二维等高图。三张图放在一起，就不容易把某一条漂亮切面误认为完整性能。

再读加权部分时，不妨保留两套输出。一套不做峰值归一化，用来看绝对幅度与噪声；另一套按峰值归一化，用来看主瓣和旁瓣形状。它们各有用途，放在同一个坐标约定中，才能解释为什么某个改动“看起来更好”，却未必在每个指标上都更好。

熟悉基础的读者，则可以沿着后续不同波形的相关结构继续读。重要的不是记住每个名称对应哪张图，而是能从信号定义预判哪种对称性、周期性或频率变化会进入响应。预判与计算不一致的地方，往往正是值得重做推导的地方。

书中的讨论有一定数学密度。它更适合愿意把积分、傅里叶变换与数值结果对照起来的读者。只想迅速查一个编码序列的人，可能会略过最有价值的部分：作者如何约定评价问题，以及如何解释不同指标之间的关系。

一张脉压图仍然是很好的入口。只是看完中央尖峰以后，还值得继续往外看：失配后的响应在哪里，旁瓣区域怎么划，峰值归一化隐藏了什么，噪声又付出了多少代价。带着这些问题读，波形比较才会从“哪张图更漂亮”走向“哪项结论有依据”。

书目信息与阅读位置

Nadav Levanon、Eli Mozeson，Radar Signals，Wiley，2004。英文PDF第23页起讨论精度、分辨率与模糊；第36页起为匹配滤波；第50—56页为模糊函数及切面；第73—82页涉及LFM与加权。文中统一采用所列时移、频移约定，归一化曲线与理想权重算例均独立计算。

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