每日精学 043｜二维 CA CFAR 的定点门限比较与系数量化

2026-09-25

雷达 · 通信 · 电子战　/　基础精学 043

二维 CA CFAR 在距离多普勒线性功率图上使用训练窗估计局部背景，并将待检测单元与局部门限比较。前级的二维窗口计数与功率求和得到训练单元数和训练功率和，后级则必须在有限位宽下执行门限标定与判决。

训练均值的除法可以与门限因子合并。合并后只需要一个预先计算的正系数、一次无符号乘法和一次大小比较。实现的主要问题因此转化为系数量化方式、量化后的概率偏差、乘积位宽和等号边界定义。

01
模型与符号

设无目标条件下的待检测功率与各训练功率互相独立，且均服从均值为 μ 的指数分布。该假设用于建立量化系数与虚警概率的闭式关系。输入的整数功率与训练和不使用饱和或截位，乘法结果保留完整精度。

P₀：待检测单元的线性功率（非负功率）

P_i：第 i 个训练单元的线性功率（非负功率）

N：实际参与估计的训练单元数（正整数）

S： $S=\sum_{i=1}^{N}P_i$ （功率和）

P_fa：无目标条件下的虚警概率（至 1）

α：乘在训练均值上的 CA CFAR 门限因子（无量纲）

β：乘在训练功率和上的和系数且 β=α/N（无量纲）

F：和系数的二进制小数位数（位）

K：量化系数的整数码值（非负整数）

β_q：定点和系数且 β_q=K2^−F（无量纲）

02
从浮点门限到整数比较

训练单元的局部均值为

$\widehat\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}P_i=\frac{S}{N}.$

标准 CA CFAR 判决规则写为

$P_0>\alpha\widehat\mu=\frac{\alpha}{N}S.$

指数功率模型下，给定训练功率和 S 时，待检测功率超过门限的条件概率为

$\operatorname{Pr}\!\left(P_0>\frac{\alpha}{N}S\mid S\right) =\exp\!\left(-\frac{\alpha S}{N\mu}\right).$

由于 S/μ 服从形状参数为 N、尺度参数为 1 的 Gamma 分布，对上式取关于 S 的期望得

$\begin{aligned} P_{\mathrm{fa}} &=\left(1+\frac{\alpha}{N}\right)^{-N}, \\ \alpha &=N\left(P_{\mathrm{fa}}^{-1/N}-1\right). \end{aligned}$

定义直接乘在训练和上的系数

$\beta=\frac{\alpha}{N}=P_{\mathrm{fa}}^{-1/N}-1,$

则判决式简化为

$P_0>\beta S.$

该形式不再显式计算训练均值。

当边界策略使 N 随位置变化时，β 也必须按实际计数改变；本文的固定数值例使用完整窗口的 N=54。

03
定点系数与取整规则

使用 F 位二进制小数表示 β。向下取整、四舍五入和向上取整对应的整数码值分别为

$\begin{aligned} K_{\mathrm{D}}&=\left\lfloor 2^F\beta\right\rfloor, \\ K_{\mathrm{RN}}&=\left\lfloor 2^F\beta+\frac{1}{2}\right\rfloor, \\ K_{\mathrm{U}}&=\left\lceil 2^F\beta\right\rceil. \end{aligned}$

量化后的和系数为

$\beta_q=K2^{-F},\qquad \Delta\beta=\beta_q-\beta.$

三种取整规则的误差范围为

$\begin{aligned} -2^{-F}<\Delta\beta_{\mathrm{D}}&\le 0, \\ \left|\Delta\beta_{\mathrm{RN}}\right|&\le 2^{-F-1}, \\ 0\le\Delta\beta_{\mathrm{U}}&<2^{-F}. \end{aligned}$

四舍五入使最大绝对量化误差最小。

向上取整保证 β_q≥β，因而在本文的连续独立指数模型下不会由系数量化导致虚警率超过设计值。向下取整的符号关系相反。

将 β_q=K2^−F 代入判决式并乘以正数 2^F，得

对具有相同功率标度的非负整数输入 p₀ 和训练和 s，实现可直接比较

$\left(p_0\ll F\right)>Ks.$

左侧只需在低位补零，不需要通用乘法器。

右侧为常数系数与训练和的乘积。当两侧相等时不判为超门限，该规则与原始严格大于定义一致。

04
虚警率误差传播

在只替换门限系数而保留连续指数功率模型时，量化后的虚警率可精确写为

$P_{\mathrm{fa},q}=\left(1+\beta_q\right)^{-N}.$

其与设计虚警率之比为

$\frac{P_{\mathrm{fa},q}}{P_{\mathrm{fa}}} =\left(\frac{1+\beta}{1+\beta_q}\right)^N.$

令

$\beta_q=\beta+\Delta\beta$

对比值取自然对数得

$\ln\frac{P_{\mathrm{fa},q}}{P_{\mathrm{fa}}} =-N\ln\!\left(1+\frac{\Delta\beta}{1+\beta}\right).$

当

$|\Delta\beta|\ll1+\beta$

时，一阶近似为

$\frac{P_{\mathrm{fa},q}-P_{\mathrm{fa}}}{P_{\mathrm{fa}}} \approx-\frac{N\Delta\beta}{1+\beta}.$

训练单元数 N 出现在敏感度系数中。

因此，即使 β 的相对量化误差较小，也不应仅依据系数位数判断概率误差，而应直接用闭式关系计算 P_fa,q。

若量化绝对误差上界为 d 且 d<1+β，则对数概率误差满足保守上界

$\left|\ln\frac{P_{\mathrm{fa},q}}{P_{\mathrm{fa}}}\right| \le\frac{Nd}{1+\beta-d}.$

四舍五入可取 d=2^−F−1，向上或向下取整可取 d=2^−F。

该上界可在尚未选定整数码值时粗略确定小数位数，最终误差仍应使用实际 K 计算。

05
位宽与溢出边界

设每个无符号功率样本为 W 位，则单个样本的最大值为 2^W−1，训练和的最大值为

$s_{\max}=N\left(2^W-1\right).$

保留训练和完整精度所需位宽为

$W_S=\left\lceil\log_2\!\left[s_{\max}+1\right]\right\rceil.$

若整数系数 K 需要

$W_K=\left\lceil\log_2(K+1)\right\rceil$

位，则通用无符号乘法结果使用 W_S+W_K 位可保持完整精度。

左移操作数需要 W+F 位。两侧应零扩展至共同比较位宽

$W_C=\max\!\left(W+F,\ W_S+W_K\right).$

在硬件描述语言中，左移表达式的结果位宽可受左操作数位宽限制。

因此实现应先通过拼接低位零生成 W+F 位数，再进行比较。右侧乘积也应在足够宽的无符号上下文中计算，不应依赖未经核对的隐式表达式宽度。

06
物理含义

和系数 β 把训练窗中的背景总功率映射为待检测单元门限。其数值同时取决于训练单元数和目标虚警率。系数变大意味着判决门限升高，虚警率下降；系数变小时关系相反。

交叉乘法不改变量化门限的物理定义，只是消去了显式小数和除法。当所有功率整数共享同一二进制标度时，该标度同时出现在比较式两侧并相互抵消。输入量化的舍入、截位和饱和仍会改变功率统计，不属于系数交叉乘法本身能够消除的误差。

07
固定参数算例

验证固定 N=54、

$P_{\mathrm{fa}}=10^{-3}$

和 16 位无符号功率输入。系数小数位从 4 扫描至 16，并比较三种取整规则。

连续指数噪声验证采用固定随机种子和 400 万次试验。另外生成 50 万组无符号整数待检测功率与训练和，逐组比较交叉乘法判决与浮点表示的量化门限判决。

系数量化与虚警率验证

系数方案	整数码值	理论虚警率	经验虚警率
精确和系数	—	1.0000000×10⁻³	9.8725000×10⁻⁴
F=6 四舍五入		8.2088846×10⁻⁴	8.0875000×10⁻⁴
F=12 向下取整		1.0111433×10⁻³	9.9800000×10⁻⁴
F=12 四舍五入		9.9948017×10⁻⁴	9.8700000×10⁻⁴
F=12 向上取整		9.9948017×10⁻⁴	与四舍五入相同

图 1　和系数量化误差虚警率传播与整数判决边界

固定参数的整数位宽核对

量	数值
单元功率位宽 W	位
训练和最大值 54(2¹⁶−1)	,538,890
训练和位宽 W_S	位
整数系数 559 的位宽 W_K	位
左移操作数位宽 W+F	位
右侧乘积的实际最小位宽	位
通用完整乘积分配位宽 W_S+W_K	位
共同比较位宽 W_C	位
整数等价对比样本数	,000
整数等价不一致数

对于 12 位小数，四舍五入与向上取整均得到 K=559，系数相对误差约为 8.019×10⁻⁵，理论虚警率比设计值低约 0.052%。

向下取整得到 K=558，理论虚警率比设计值高约 1.114%。6 位小数的四舍五入系数使理论虚警率降低约 17.91%，说明较粗的系数格点会造成明显的概率偏差。

四组经验虚警率均位于相应理论值的随机统计波动范围内。在同一批噪声样本上，6 位四舍五入相对精确系数减少 714 个超门限事件；12 位向下取整增加 43 个事件，12 位四舍五入减少 1 个事件。这些计数与系数的方向性和理论概率差一致。

08
数字实现的边界

模块 cfar_fixed_threshold_compare.sv 接收 16 位待检测功率和 22 位训练功率和。模块在待检测功率低位拼接 12 个零，用整数系数 559 与训练和相乘，将两侧零扩展至 32 位后执行无符号严格大于比较。

训练和与系数首先扩展至乘积上下文，用以避免表达式自身位宽导致高位截断。

自检 testbench 使用独立的 64 位无符号参考计算，检查零输入、训练和为零、等号边界、等号两侧相邻值、最大功率和最大训练和，并生成 5000 组确定性伪随机向量。模块只实现固定系数门限比较，不包含二维窗口寻址、功率求和、边界计数、系数查找或输出登记。

当前执行环境未发现兼容的 SystemVerilog 仿真器。RTL 与 testbench 已完成端口位宽、常数系数范围、左侧补零宽度、右侧乘积宽度、严格大于条件和参考算术范围的静态核对；验证结论不包含动态编译或时序仿真结果。

09
适用范围

概率闭式结果适用于待检测功率和训练功率相互独立、同均值且服从指数分布的 CA CFAR 模型。整数交叉乘法对任意非负整数功率和正系数均成立，不依赖指数分布。

该结构可用于固定训练单元数的二维 CA CFAR 完整窗口输出。若对边界单元裁剪窗口，则应按实际 N 为每个可能的计数预计算 K(N)，并在比较级前选择对应系数。使用固定 F 的系数表可保持统一的左移和比较数据通路。

10
工程上需要注意

距离向和多普勒向的加窗会引入相邻单元相关，独立指数模型下的量化虚警率不能代替系统级标定。
非均匀背景、杂波边缘和邻近峰值会使训练和偏离局部噪声水平，其影响通常大于高精度系数的量化误差。
功率样本量化会在零附近产生离散概率质量，严格大于和大于等于在离散输入下可导致可观测的虚警率差异。
训练和截位或饱和、乘积截位、有符号解释错误和隐式位宽收缩都会破坏交叉乘法的数学等价性。
系数向上取整只在本文给定的统计模型和精确算术下保证不增加虚警率，并不保证在非理想背景中达到同一系统性能。
常数乘法器可由 DSP 资源或移位加法网络实现，两种映射的时序、功耗和资源取决于目标器件与综合策略。

二维 CA CFAR 的均值门限判决可改写为待检测功率与训练功率和的比较，并进一步转换为无除法的整数交叉乘法。量化和系数为 β_q=K2^−F 时，实现条件为 $(p_0\ll F)>Ks$ 。

系数量化后的理论虚警率可由 (1+β_q)^−N 直接计算，其偏差方向由量化误差的符号决定。

在 54 个训练单元和目标虚警率 10⁻³ 的固定参数下，12 位小数和四舍五入得到 K=559，闭式虚警率偏差约为 −0.052%。

对 16 位功率输入，54 项训练和需要 22 位，通用完整乘积和比较通路需要 32 位。正确的系数码值、严格大于边界和显式零扩展共同构成定点门限比较的完整实现条件。

内容依据：每日精学第 43 课《二维 CA CFAR 的定点门限比较与系数量化》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 043｜二维 CA CFAR 的定点门限比较与系数量化

01模型与符号

02从浮点门限到整数比较

03定点系数与取整规则

04虚警率误差传播

05位宽与溢出边界

06物理含义

07固定参数算例

08数字实现的边界

09适用范围

10工程上需要注意