最优阵列处理 · 第08章 最大似然参数估计
第8章进入最大似然参数估计。似然函数来自观测模型及未知参数的定义；当模型正确且满足适当条件时，估计性能可用信息量和误差界分析。
本篇先用雷达测量的精度与分辨率说明误差界的正确读法，再连接多参数估计中的耦合。
采样率20 MHz时，相邻快时间样本对应的单站距离间隔是7.5 m。带宽10 MHz的理想平坦频谱，名义距离分辨尺度是15 m；在另一些条件满足时，单个目标的测距随机误差还能远小于这两个数。
先把三个问题分开：采样间隔描述数据落在哪些位置，分辨率描述相邻目标能否被区分，估计精度描述同一目标的位置估计能有多稳定。把距离显示格直接当作误差下限，会混淆它们。
图一采用已知波形、孤立点目标、中心对称平坦频谱和复白高斯噪声。定义ρ为信号能量除以复噪声谱密度，等于匹配滤波峰值输出SNR；带宽B的均方根频率为β=B除以根号十二。
在这些模型条件下，无偏时延估计的克拉美–罗下界换算到距离标准差为：
带宽10 MHz、SNR为20 dB时，该下界约0.585 m。它说明单目标位置参数包含比采样格更细的信息，但不承诺某个实际算法已经达到0.585 m，更不承诺能分开相距0.585 m的两个目标。
低SNR下的错误峰选择、先验搜索窗口和估计偏差，都可能使实际误差远离这条局部下界。即使SNR很高，未校准的时延偏移也不会被白噪声模型自动消除。
《现代雷达原理（卷一：基本原理）》第十七章把测量误差、参数估计和坐标转换联系起来，核心是先说明估计对象和误差口径，再讨论一个精度数字。
单点目标的理论下界，与距离格和分辨尺度。B=10 MHz，fs=20 MHz，c=3×10^8 m/s，复白噪声、已知平坦频谱单点模型；下界不等于算法实测误差。设目标真值为50.8 m，理想匹配滤波功率响应采用图二的sinc平方曲线，首零点距离峰值15 m。每隔7.5 m采样一次，最高采样点位于52.5 m，直接取格中心会产生正1.7 m误差。
这里没有噪声，误差全部来自离散峰值选择。相邻点45 m、52.5 m和60 m的功率分别约0.5953、0.9585和0.2366；三个点不对称，已经提示真实峰位应在52.5 m左侧。
一种常用修正是对这三个功率点作局部抛物线插值。设峰格位置为R零，相邻采样间隔为ΔR，左、中、右功率为p负、p零、p正，则：
按本例数据，估计位置约51.260 m，误差降到正0.460 m。修正确实有用，但无噪声误差仍不为零，因为sinc平方曲线在这三个点上并不精确等于抛物线。
若采用与已知响应匹配的连续参数拟合，在理想无噪声单目标模型下可以恢复更准确的峰位；实际噪声、窗函数和通道响应变化会改变这种拟合的条件。
分母接近零、边界没有完整邻点、峰附近有多个目标时，三个点的公式可能不稳定或失去物理含义。直接对任何检测峰进行插值，再统一报告亚格精度，并不成立。
插值对象也要统一。幅度、功率和对数功率对应不同的曲线形状，用其中一种导出的公式代入另一种数据，得到的偏差往往被误认为噪声。
真峰、采样峰和插值峰之间的差异。真值50.8 m，sinc平方响应，首零点偏移15 m；离散点间隔7.5 m，无噪声。采样峰52.5 m，三点功率插值51.260 m。速度测量依赖复数慢时间样本的相位变化。设PRF为1 kHz、波长0.03 m，孤立目标具有恒定多普勒，初始复幅度未知，每个脉冲的输入SNR为10 dB，脉间噪声独立。
图三同时列出未补零FFT的速度格与恒频估计标准差下界。16个样本时，速度格为0.9375 m/s，而随机标准差下界约0.02895 m/s；两者相差很大，却没有矛盾。
含未知初相位的复单频模型，其频率标准差满足：
这里T是实际脉冲间隔，N为真实样本数，ρ是单脉冲SNR，频率单位为Hz。速度标准差由频率标准差乘波长再除以二得到；不要把积累后的SNR又代入这个单脉冲口径，重复计算增益。
从16增至64个样本，速度标准差下界从约0.02895降到0.00361 m/s。恒频模型中，较长观测既提高频率响应的定位信息，也增加信号能量，方差随样本数近似按立方改善。
该改善依赖稳定目标相位和正确模型。加速度、距离迁移、相位噪声、散射中心变化和缺脉冲，都会破坏简单恒频假设；实际算法还需处理模糊速度和低SNR离群峰。
表中N除以PRF的观测预算为16、32和64 ms，首末样本间隔则分别为15、31和63 ms。说明精度时应交代采用哪个时间定义，不能把显示刷新率代替真实观测时间。
真实样本数增加时，FFT网格与估计下界。PRF=1 kHz，λ=0.03 m，单脉冲SNR=10 dB；未知复幅度、独立复白噪声、恒定单频，无补零。幅度比较单脉冲测角，同时接收略向两侧偏置的波束。匹配后的两个复通道作和与差，再取差和比；理想单点目标的公共复幅度可以约掉，角度信息留在比值里。
为看清线性近似的边界，图四使用两个高斯形有效接收电压响应，分别为角度偏离正b和负b的高斯函数，标准宽度σ为3°，偏置b为2°。这是独立演示模型，不是原书或某副天线的实测方向图。
定义差通道为正角波束减负角波束，各角度使用同一单位。该模型的差和比与中心线性反演为：
目标位于1°时，线性反演约0.984°，偏差较小；到4°时，仅得到约3.199°，出现约负0.801°偏差。提高SNR不能消除这种由错误线性模型造成的确定性误差。
实际单脉冲处理可以采用标定后的非线性比值曲线，在有效角域内反查角度。波束斜率、通道增益与相位匹配，以及和通道接近零时的稳定性，都需要共同校核。
两个未分辨目标、角闪烁或多径会使通道电压相干叠加。此时公共幅度约消不再等于一个真实点目标的位置，测角结果甚至可能落在两目标角域之外。
单脉冲的“单”强调同时获得测角信息，不表示一次脉冲可以免除噪声、标定与目标模型的限制。
差和比的中心斜率，不能覆盖整个角域。有效接收电压响应偏置±2°、宽度σ=3°，D=正角通道−负角通道，无噪声；角度统一使用度，不代入其他单位斜率。10 ns的双程时延零点偏移，对应1.5 m距离偏差。它可以来自时钟对齐、通道延时或标定参考面的不一致；若每次测量都带同样偏移，重复测量并不会把它平均掉。
设一组测量的随机标准差达到前述20 dB条件下的0.585 m，另有固定1.5 m偏差。其均方根误差约为1.61 m，明显大于只报告的随机标准差；统计结果很稳定，也可能稳定地偏离真值。
对同一静止目标做100次独立测量并平均，随机标准差可降至约0.0585 m，但固定偏差仍为1.5 m。若噪声或散射起伏在多次测量中相关，连平方根平均规律也要重新检验。
距离、方位、俯仰的误差进入位置坐标时，还会受到几何放大。10 km处，0.1°的小角度标准差约对应17.45 m横向标准差，远大于半米级的距离随机误差。
因此一组高精度距离和较粗角度，未必得到同样高精度的二维或三维位置。转换到笛卡尔坐标后，坐标分量之间还可能相关，不能把三个球坐标方差原样搬到三个直角坐标轴上。
较小误差下，可在当前位置对坐标变换求雅可比，再用协方差传播近似得到位置误差。角误差较大、几何接近奇异或目标模型非线性明显时，应检查线性化是否仍可靠。
功率和雷达散射截面积测量同样需要参考面。由回波功率反推RCS，还包含距离四次方、收发增益与传播损耗，强回波并不能单独给出目标的绝对RCS。
一项可复核的测距结果，应说明波形频谱、采样率、输出SNR、估计算法、搜索窗口、标定参考点，以及采用标准差、偏差还是均方根误差。只写“精度0.5 m”，无法判断它代表哪一种能力。
下界计算回答模型允许多好的无偏随机精度，离散响应算例回答某个算法的确定性偏差，蒙特卡洛或实测则回答给定环境中的统计表现。三类证据应分别列明，不能互相替代。
本章的0.585 m来自明确噪声和频谱假设下的理论下界，0.460 m是无噪声三点功率插值的单次偏差，均未作为设备实测精度。它们分别说明噪声信息与采样算法的不同限制。
验证算法时，可先用已知真值的连续模型核对采样、频率和角度符号，再扫描亚格位置与SNR。仅挑目标恰好落在格中心的案例，会避开最需要检查的失配位置。
进入统计验证后，还应报告错误峰、漏检、门限截断和离群测量的处理口径。只对检出且关联正确的样本计算标准差，可能得到很好看的数字，却遗漏系统最难处理的一类误差。
多目标、多径、扩展目标与通道漂移应作为独立工况补充。测量模型改变后，需要重新判断估计参数是否仍可辨识、误差是否有偏，以及交给跟踪器的协方差是否可信。
真正有价值的精度指标，不只描述曲线有多窄，还能指出它对哪种目标、哪种噪声、哪种算法和哪一处参考面成立。
本文依据 Mark A. Richards 等编著《Principles of Modern Radar, Volume I: Basic Principles》第二版第十七章，PDF第九百九十三至一千零五十三页。四幅图表由独立模型计算，未复用原书图片。
最大似然估计不必在有限样本下无偏，也不保证总能找到全局最优。高信噪比局部误差界不能描述低信噪比跳错峰的门限效应；多参数模型还需检查参数是否可辨识。
章目依据 Wiley《Optimum Array Processing》（Harry L. Van Trees，2002）公开目录核对。当前未取得整本原文；本组以同题公开理论和图书馆已有教材专题编订中文导读，明确补充原理，不宣称逐页解读或复现原书例题。
技术展开依据：图书馆既有专题《7.5米距离格，测距能到亚米级吗？》（现代雷达原理（卷一：基本原理，第2版））。本篇重新编排章节导读与适用边界；图表及算例属于专题解释，不能当作目标书的原图或原书实测结果。