每日精学 049｜Bartlett 常规波束形成空间谱
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固定波束形成只回答一个预定方向上的输出。将导向角在可见区间内扫描，可以把同一协方差矩阵转换为空间功率曲线。曲线峰值给出与阵列流形最匹配的方向，因此可用于粗测角和后续高分辨算法的初始化。
Bartlett 谱本质上仍是有限孔径方向图与真实角度功率分布的卷积。两个源的角度间隔小于主瓣宽度时，谱峰可能合并，即使快拍数很大也不能突破该孔径限制。
01
模型与符号
a(θ)：候选角导向矢量（复幅度）
：样本空间协方差（功率）
PB(θ)：Bartlett 空间谱（功率）
K：协方差估计快拍数（快拍）
：空间谱局部峰值角（deg）
M：均匀线阵阵元数（阵元）
02
常规扫描权重
候选角 θ 的单位增益常规权重为
对于等幅阵元，分母等于 M。
03
Bartlett 二次型
波束形成输出平均功率为
白噪声在全部扫描角上贡献近似常数底噪。
04
峰值与分辨率
单个源产生的 Bartlett 谱形状近似为阵列功率方向图。两个等强源是否形成两个局部峰值取决于角度间隔、信噪比、快拍误差和阵列孔径。峰值搜索还应设置最小间隔，避免把同一主瓣内的数值起伏重复计数。
05
物理含义
扫描导向矢量相当于让阵列依次监听每一个候选方向。若候选相位斜率与来波一致，阵元分量同相相加，输出功率增大；失配时相位沿孔径旋转，求和发生抵消。
06
固定参数算例
验证使用十阵元半波长线阵、负十二度和十八度两个不相关源以及十五分贝阵元信噪比。程序由固定随机种子的快拍估计协方差，扫描负六十至六十度并搜索两个最大局部峰值，同时与单源理论方向图比较。
| 量 | 数值 |
|---|---|
| 阵元数 | 10 |
| snapshots | 4096 |
| source1 true deg | -12 |
| source1 estimated deg | -11.95 |
| source2 true deg | 18 |
| source2 estimated deg | 17.9 |
| maximum abs angle error deg | 0.1 |
| third to second eigenvalue ratio | 0.00490652453 |
图 1 Bartlett 空间谱 协方差特征值与两个源的峰值估计
数值结果由配套 MATLAB 脚本在固定参数和固定随机种子下实际执行。脚本包含针对闭式关系、边界条件或估计误差的断言，并把 MATLAB 版本与关键数值写入独立结果文件。
07
数字实现的边界
RTL 实现八路复样本与一组四相位权重的无乘法器波束形成核，支持正负一和正负虚数旋转后扩位求和。它用于演示单个扫描角的数据通路；完整空间谱由控制器依次装载多组权重。testbench 核对同相、正交和抵消向量。
RTL 只实现本课中可明确量化的确定性数据通路或控制功能。概率分布拟合、浮点矩阵分解和图形生成留在 MATLAB 参考程序中，防止把软件统计功能误认为可综合硬件。
08
适用范围
Bartlett 方法适合阵列功能检查、粗角度估计和协方差质量验证。其结果可以作为 MVDR 或 MUSIC 的对照基线，因为后两者获得更窄谱峰时也更依赖协方差精度和阵列模型。
09
工程上需要注意
相邻源小于常规主瓣宽度时可能无法分辨。
强源旁瓣会掩盖较弱源。
导向矢量失配会造成峰值偏差和幅度下降。
空间相关噪声会产生角度相关底噪。
Bartlett 空间谱是扫描导向矢量与样本协方差形成的稳定二次型。谱峰具有直接物理含义，但角分辨率仍受阵列孔径和常规方向图约束。
内容依据：每日精学第 49 课《Bartlett 常规波束形成空间谱》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。