每日精学 065｜谱相关密度与频率平滑估计

2026-09-25

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第六十四课用单一循环频率上的循环自相关检测 BPSK 周期性。本课把同一二阶周期统计量变换到频域，并讨论有限数据下必须采用的频率平滑。

谱相关密度把两个相隔循环频率的频谱分量相关起来，使普通功率谱中不明显的周期统计结构在二维频率平面上形成峰值。

01
模型与符号

f：谱频率（Hz）

α：循环频率（Hz）

S_x^α(f)：谱相关密度（功率每赫兹）

L_s：频率平滑长度（频点）

T₀：统计周期（s）

02
循环谱定义

这里采用对称时延约定：

$R_x^\alpha(\tau)=\frac{1}{T_0}\int_0^{T_0}\mathrm E\{x(t+\tau/2)x^*(t-\tau/2)\}e^{-j2\pi\alpha t}\,dt.$

循环频率取统计基频 1/T₀ 的整数倍 α=k/T₀，k 为整数。频移谱乘积与这一约定对应。

周期相关函数对时延作傅里叶变换得到

$S_x^\alpha(f)=\int R_x^\alpha(\tau)e^{-\mathrm{j}2\pi f\tau}\,\mathrm{d}\tau$

非零循环频率处的能量说明二阶统计量随时间周期变化。

03
频移谱乘积

有限记录可用 X(f+α/2)X^*(f−α/2) 构造估计量。两个频移谱分量只有在存在周期耦合时才保持稳定相位关系。

04
频率平滑

用长度 L_s 的核 g[k] 对频移谱乘积平滑，写成

$\widehat S_x^\alpha[k]=\sum_m g[m]I_x^\alpha[k-m]$

更宽平滑降低方差但牺牲频率分辨率。

05
物理含义

普通功率谱只保留同一频率分量的平均能量。谱相关密度比较成对频率分量，因此能把调制时钟、载波和重复结构产生的耦合分离出来。

06
固定参数算例

MATLAB 生成具有周期方差的复高斯序列，扫描候选循环频率，对频移谱乘积执行滑动平均，并比较正确循环频率、偏离频率和纯噪声的统计量。本算例频率采用周/样本，0.0625 对应 1/16 周/样本；换算为 Hz 时须乘以采样率。频移谱乘积还需按记录长度、采样率和窗能量作一致标定，表中检测统计量不直接作为绝对功率谱密度。

MATLAB 固定参数数值验证结果

量	数值
样本数	8192
真实循环频率	0.0625
估计循环频率	0.0625
平滑频点数	65
target metric	0.633172780662
off cycle metric	0.134028492028
noise metric	0.111531511643
scan peak metric	0.633172780662

图 1　周期方差信号的谱相关密度循环频率扫描和平滑带宽比较

数值结果由配套 MATLAB 脚本在固定参数和固定随机种子下实际执行。脚本包含针对闭式关系边界条件或估计误差的断言，并把 MATLAB 版本与关键数值写入独立结果文件。

07
数字实现的边界

RTL 实现单个频移谱分量的定点复乘累加核心；频率索引调度、窗函数和跨块平均由外部控制器完成。

配套 RTL 只实现本课中可明确量化的定点核函数或数据通路。浮点矩阵分解概率统计和图形生成保留在 MATLAB 参考程序中。

08
适用范围

该估计量用于通信信号存在性分析、循环特征监测和调制结构诊断。平滑长度应由记录长度、目标循环频率间隔和允许估计方差共同决定。

09
工程上需要注意

有限记录会产生循环频率泄漏。
频率平滑样本并非完全独立。
采样时钟偏差会移动循环峰值。
强窄带干扰可能抬高局部统计量。

谱相关密度通过频移谱乘积显式描述二阶周期耦合。频率平滑给出方差与分辨率之间的可控折中。

内容依据：每日精学第 65 课《谱相关密度与频率平滑估计》。图表沿用原课固定参数数值结果，属于数值验证，不代表设备实测。

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每日精学 065｜谱相关密度与频率平滑估计

01模型与符号

02循环谱定义

03频移谱乘积

04频率平滑

05物理含义

06固定参数算例

07数字实现的边界

08适用范围

09工程上需要注意